Comment calculer l'aire minimale d'un triangle

Bonjour,

Je suis en classe de 2nde et notre prof de maths nous a posé un problème en fin de trimestre sans cours préalable concernant l'aire minimale d'un triangle. Je souhaiterais savoir dans un premier temps ce qu'est l'aire minimale d'un triangle (définition) et comment la calculer.

Merci d'avance pour votre aide.

Pussycat.

Salut.

L'aire minimale : prend par exemple un triangle ABC isocèle en A, de côté BC=x. Si tu calcules l'aire de ce triangle, tu remarques qu'elle dépend de x. Maintenant on aimerait savoir pour quelle valeur de x l'aire de ABC est la plus petite possible (minimale), et bien on calcule pour quelle valeur de x la fonction "Aire de ABC" est minimale. Soit c'est évident : ici pour x=0 l'aire est manifestement nulle, soit par le calcul on résout "Aire de ABC"(x)=0.

@+

salut,

Merci pour ta réponse concernant un cas particulier(isocèle) , mais je précise le problème posé:

ABCD est un carré de côté 10.
L est un point du côté AB. On pose AL=x.
P est le point de DA tel que DP = AL = x.
le but de l'exercice est de déterminer s' il existe un triangle LCP d'aire minimale et si oui, lequel?

vu ton explication précédente et les points imposés, je ne vois pas comment je pourrais obtenir une aire minimale que celle existante.
je me trompe peut-être aussi peux-tu éclairer ma lanterne?

merci d'avance
a+

Pussycat

Salut.

J'ai pris un triangle isocèle pour que tu comprennes, que tu voies mieux, mais c'est pareil ici.

Il suffit de calculer l'aire de LCP (qui sera fonction de x), et trouver la valeur de x qui minimise la fonction.

Indice : Aire de LCP = Aire du carré - Aires des petits triangles dans les coins.

@+

salut,

Merci pour ta réponse. mon exercice porte sur une étude de deux cas particuliers. Dans le premier cas, x=3 et LCP=39.5. Dans le deuxième x=7.2 et LCP=39.92. Si j'ai bien compris plus LP sera petit plus les petits triangles de coins seront grand et plus l'aire de LCP sera petite et donc minimale. Or c'est ici que je coince! je n'arrive pas à trouver la longueur LP pour que l'aire soit minimale . je te rappelle que je suis en 2nde et que je n'ai pas eu de cours préalables.
J'ai essayé le calcul (par la fonction) et faudrait-il que x soit égal à 7 pour que l'aire soit minimale et donc égale a 5.5(c'est la valeur minimale que j'ai trouvé sans qu'elle soit négative)? j'avoue que je coince vraiment! :frowning2:

merci d'avance

Pussycat

Salut.

Dans ce cas il faut poster dans le forum 2de et pas 1eS.

Bon effectivement, le problème c'est que l'on a affaire à une fonction avec du x², et ça c'est pas cool en seconde.

Moi j'obtiens A(x)=0,5x²-5x+50.

Bon le truc c'est de se servir de ce que l'on connait. Et ce que l'on connait ce sont les identités remarquables. Je récris la fonction autrement dans un premier temps.

A(x)=0,5*(x²-10x+100)

Essaie de reconnaitre l'identité remarquable dans la parenthèse à un terme près (tu obtiendras un truc de la forme (x+a)²+b). Puis réfléchis.

@+

salut

je n'arrive pas à trouver la même réponse que toi!!! et en plus avec les identités remarquables . je ne vois vraiment pas du tout comment faire ou plutot quelle identité remarquable il faut prendre. comme je te l'ai déjà dit j'ai fais avec les fonctions mais la réponse est mauvaise.
Peux-tu m'aider un peu plus au niveau des identités remarquables?

Merci d'avance

Pussycat

Salut.

Ben on est en train de le faire avec les fonctions là. Revenons sur la réduction de l'expression.

Pourtant ça parait clair, il faut obtenir un truc du genre A(x) = 0,5*[(x+a)²+b].

L'identité en question est donc (x+a)². Maintenant si a est négatif, tu préfères peut-être la forme (x-a)², mais c'est la même identité. On y va tranquillement.

On aimerait réduire x²-10x+100.

On reconnait le début de l'identité (x-a)². Mais que vaut a ?

Pour cela on s'intéresse au double produit qu'il faut mettre en évidence.

x²-10x+100 = x²-25x+100

Là on voit que a=5 ! Donc il nous reste à trouver un 5² quelque part. Il suffit de rajouter 5²-5² à l'expression (comme ça fait 0, on a le droit), on s'occupera de simplifier après.

x²-10x+100 = x²-25x+100+5²-5²

On isole bien ce qui nous intéresse :

x²-10x+100 = [x²-25x+5²]+100-5²

On réduit l'identité :

x²-10x+100 = (x-5)²+100-5²

Ce qui nous fournit l'expression attendue :

x²-10x+100 = (x-5)²+75

D'où A(x)=0,5*[(x-5)²+75]. As-tu une idée du x qui permettrait de minimiser cette fonction ? Et surtout pourquoi ?

@+