racine de 2 n'est pas un nombre rationnel



  • Le but de cet exercice est de démontrer que sqrtsqrt2 n'est pas un nombre rationnel.
    Pour cela, on peut utiliser un raisonnement par l'absurde, c'est-à-dire que l'on suppose que sqrtsqrt2 est un nombre rationnel, et on démontre alors que ce n'est pas possible parce que l'on aboutit à une contradiction.
    On suppose que sqrtsqrt2 est un nombre rationnel.

    1. a) Justifier qu'il existe deux entiers p etq non nuls et premiers entre eux tels que sqrtsqrt2=p/q.
      b) En déduire que 2<em>q</em>22*<em>q</em>^2 = <em>p</em>2<em>p</em>^2.

    Je pense que je peux résoudre le reste de l'exercice si vous m'édiez pour la réponse à la première question. L'exercice le 60p32 du livre de seconde de la collection radial, math edition BELIN.
    Je vous remercie d'avance.
    Vous pouvez repondre sur le forum ou par e-mail à jeremyrebus@hotmail.com



  • On suppose que sqrtsqrt 2 ) s'écrit sous la forme a/b où a appartient à l'ensemble N et b à l'ensemble N*
    et que a/b est une fraction irréductible.

    Raisonnons par l'absurde et supposons: rac (2) rationnel

    Étant rationnel: sqrtsqrt 2 )= P/Q

    On réduit la fraction au maximum rac (2 )= M/N

    M et N n'ont pas de diviseurs en commun M et N premiers entre eux

    Élevons au carré: 2 = M² /N²

    Ou: M² = 2 N²

    On déduit: M² est pair

    Or, un nombre élevé au carré, garde sa parité M est pair et M = 2K

    On revient à l'expression au carré: M² = 4 K² = 2 N²

    Ou N² = 2 K²

    Même raisonnement avec N: N est pair et N = 2 J

    Alors M et N ont un facteur commun 2 est facteur commun à M et N

    La contradiction montre que l'hypothèse est: Fausse au départ

    Et que: sqrtsqrt 2) est irrationnel


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