famille de fonction

Bonjour,
Je dois rendre un devoir maison vendredi, et j'aimerais que vous m'aidiez.

voici le sujet:

le but de ce problème est l'tudes d'une famille de fonctions et la mise en évidence de propriété relatives a certaines tangentes aux courbes correspondantes.

Soit k un réel fixé. On définit sur [0;+∞[ la fonction $f_k$ par $f_k$ (x)=x-k√x , et on notes $C_k$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j)

(Avec ceci il y a un graph, (mais je ne peut pas vous le mùontrer, désolé, je n'ais aps de scanner) et les courbes $C_{-2}$ , $C_{-1}$ , $C_1$ , $C_2$ et $C_3$ sont représentées.)

1°) Quelle est la nature de $C_0$ ? Dans la suite on suppose que k ≠ 0.
Alors j'ai donc $C_0$ = x-0√x = x
Donc $C_0$ est donc une fonction affine.
est ca??
2°)Etudier la dérivabilité de $f_k$ en 0. Interpréter géométriquement le résultat.
Alors ici je coince car je ne comprend pas la question. Poouvez vous m'aideer s'il vous plait??

Merci beaucoup d'avance.

Salut.

C'est bien ça, et on peut mettre rajouter qu'elle est linéaire vu qu'elle passe par 0.
On se demande pour quels k la fonction $f_k$ est dérivable en 0. Donc passe par la limite du taux d'accroissement en 0, et regarde quand elle est finie. Pour cela, il va falloir différencier les valeurs de k.

@+

Bonjour Jeet-chris pour ton aide mais je ne comprend pas tout.pourrais tu me donner un exemple" pour la question 2 car malgres ton explication je ne comprend toujours pas la question.
Désolé.

merci d'avance
A+

Salut.

Ca va être dur de donner un exemple sans te donner le résultat.

On va prendre le cas particulier où k=0. Toi tu vas devoir d'abord effectuer le calcul avec k, puis discuter de la valeur que doit prendre k.

Donc pour k=0, $f_0$ (x)=x.

$lim⁡x→0f0(x)−f0(0)x−0=lim⁡x→0xx=1\lim_{x \to 0} \frac{f_0(x) - f_0(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

Par définition, $f_0$ est donc dérivable en 0.

@+

et ca je le fais pour toute les valeur de k
Ou je prend que quelque valeur arbitraire et je dis ce que ca fais??

a non vce que tu m'as donner la c'est la réponse??

Ps: excuse moi aujourd'hui j'ai vraiment pas les yeux en face des trous.

salut ,

=> non tu trouves cette limite en fonction de k

oui mais dans la question numéro 1 on nous dit on:

"Dans la suite on suppose que k ≠ 0."

Malgres cela on a le droit d'utiliser k=0 pour répondre a la deuxième question??

alors si j'ai bien compris je dois faire ceci :

lim ( $f_k$ (x) - $f_k$ (0))/(x-0)
x→0
⇒lim ( k√x )/(x)
x→0

c'est ca??

Salut.

J'ai utilisé k=0 pour l'exemple. J'ai bien dit "Ca va être dur de donner un exemple sans te donner le résultat".

Pour répondre à ta question, je te l'avais déjà dit : "Toi tu vas devoir d'abord effectuer le calcul avec k, puis discuter de la valeur que doit prendre k".

Merci zoombinis.

C'est presque ça, recalcule le numérateur.

@+

je trouve le meme résultat.
Je fais
lim ( $f_k$ (x) - $f_k$ (0))/(x-0)
x→0

lim ((x+k√x)-(x+0√x))/x
x→0

je trouve donc ensuite:

lim ( k√x )/(x)
x→0

Aurais-je fais une faute de calcul??

Salut.

Oui, $f_0$ (x)≠ $f_k$ (0).

@+

a oui donc ce qui fait donc:

lim (x+ k√x)/(x)
x→0

??

dans mon cours c'est dit :

On dit que f tend vers L quand x tend vers $x_0$ si et seulement si f(x) peut-être aussi pres que l'on veut de L et le reste pourvu que x soit suffisamment pres de $x_0$

L étant une limite finie .

est ce que cela peut nous aider??

Salut.

Ce qui pourrait nous aider c'est que tu commences par simplifier l'expression, puis que tu appliques ton cours sur les limites : "constante / 0" et somme de limites.

@+

comment peut on simplifier cette expression??
en utilisant le conjuguer??
on ne peut pas simplifier comme ca: k√x ??

Salut.

En tenant compte du dénominateur tu devrais obtenir une expression plus agréable pour le calcul de sa limite, parce que pour l'instant tu as affaire à un cas indéterminé, ce qui n'est pas chouette.

@+

comment ca en tenant compte du denominateur??

Pour enlever le x au dénominateur pour avoir une équation non indéterminer, je ne vois vraiment pas comment faire.

a moin que .....

Est ce que je peut faire ceci:

(x+k $s q r t$ x)/ (x-0) = ((x+k $s q r t$ x )(x+0))/((x-0)(x+0)) ( on multipile par le conjugué)
= (x²+kx $s q r t$ x)/(x²)

Est ce bon??
mais cela ne nous aide pas plus!!

Bon alors j'ai fais plusieur calcul et j'arrive a un moment a (k/ $s q r t$ x).

Voici comment j'ai fait:

Je suis partis de cette formule:
(x+ k√x)/(x)

J'ai mis en facteur la racine carréet cela me donne a la fin:
(k $s q r t$ x)/x

ensuite je multiplie le dénominateur et le numérateur par $s q r t$ x ce qui me donne a la fin :
k/ $s q r t$ x

mais la limite de cette équation est +∞.

Je suis vraiment bloquer . :s :frowning2:

Non c'est bon je pense enfin avoir trouver.

je part de la formule de départ qui est :

(x+ k√x)/(x)

Ensuite je multiplie le numérateur et le dénominateur par √x

ce qui me fait donc au final:

$f_k$ (x)=1+kx

Et donc la limite de $f_k$ (x) (quand xtend vers 0)=1

C'est ca??

J'espere que c'est cela, cela me soulage et me rend jouyeux d'avoir enfin un résultat qui concorde ( meme si ce n'est pas sur que cela soit bon je suis :razz: et . lol.)

Salut.

En faisant un mix de tout ça ça pourrait être partiellement bon. Au début t'étais bien parti, mais un terme était manquant. A la fin c'est du délire, mais le terme revient.

Qu'est-ce qui te gêne au fait que la limite soit infini ? Si elle est finie, la fonction est dérivable, sinon elle ne l'est pas. Rien de choquant, il s'agit juste de répondre à la question.

En plus la forme de $f_k$ devrait te mettre la puce à l'oreille. Tu dois savoir que x→x est dérivable en 0, alors que x→√(x) ne l'est pas. Donc à vue de nez si k≠0 il risque d'y avoir quelques problèmes de dérivabilité en 0.

Bon je t'écris un calcul correct :

$lim⁡x→0fk(x)−fk(0)x−0=lim⁡x→0x+xxx=lim⁡x→0(xx+kxx)=lim⁡x→0(1+kx)\lim_{x \to 0} \frac{f_k(x)-f_k(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{x+x\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{x} + \frac{k\sqrt{x}}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( 1+\frac{k}{\sqrt{x}} \right)$

Car √(x)/x = 1/√(x).

On en déduit donc que :

$lim⁡x→0fk(x)−fk(0)x−0=1+lim⁡x→0kx\lim_{x \to 0} \frac{f_k(x)-f_k(0)}{x-0} = 1 + \lim_{x \to 0} \frac{k}{\sqrt{x}}$

Que penser de cette dernière limite, et pas d'erreur s'il-te-plait, je sens que tu ne vas pas prendre en considération k, même si la conclusion reste la même.

@+

Je pense que cette limite est égale a +∞, non??

Car si x→0 alors limite √x = 0

lim (1/√x)= +∞
x→0

alors lim (k/√x)= +∞
x→0

et le 1 devant ne change pas grand chose donc:

1+ lim (k/√x)= +∞
x→0.

Est ce que c'est cela??

Salut.

Jeet-chris
et pas d'erreur s'il-te-plait, je sens que tu ne vas pas prendre en considération k

@+

Non, désolé je vois pas.
:frowning2:

Salut.

Et si k est négatif ?

@+

a ouè c'est vrai. (désolé)

Si k est négatif alors la limite est -∞.

Mais en fait la réponse a cette question c'est quoi alors?? l'infini??
Ce n'est que dans le reste du devoir que l'on fait un difference entre un k<0 et un k>0.

Salut

On te demande de répondre à la question c'est pas parce que t'as vu k<0 et k>0 à la fin de ton devoir que ça veut dire que ça n'a pas d'importances avant celà.On t'as demandé la limite selon les valeurs de k ce qui n'est pas exactement la question qu'on te pose mais c'est important pour que tu comprennes ce que tu as à faire.

Pour résumé :
k>0 ou k<0 la limite en 0 est ±∞ La fonction est elle dérivable en 0 ?
ET k = 0 la limite est de 1 La fonction est elle dérivable en 0 ?
interpretation géometrique ? (demande toià quoi correspond geometriquement parlant le nombre dérivé en un point )