famille de fonction
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AAryo dernière édition par
Bonjour,
Je dois rendre un devoir maison vendredi, et j'aimerais que vous m'aidiez.voici le sujet:
le but de ce problème est l'tudes d'une famille de fonctions et la mise en évidence de propriété relatives a certaines tangentes aux courbes correspondantes.
Soit k un réel fixé. On définit sur [0;+∞[ la fonction fkf_kfk par fkf_kfk(x)=x-k√x , et on notes CkC_kCk sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j)
(Avec ceci il y a un graph, (mais je ne peut pas vous le mùontrer, désolé, je n'ais aps de scanner) et les courbes C−2C_{-2}C−2, C−1C_{-1}C−1, C1C_1C1, C2C_2C2 et C3C_3C3 sont représentées.)
1°) Quelle est la nature de C0C_0C0? Dans la suite on suppose que k ≠ 0.
Alors j'ai donc C0C_0C0= x-0√x = x
Donc C0C_0C0 est donc une fonction affine.
est ca??
2°)Etudier la dérivabilité de fkf_kfk en 0. Interpréter géométriquement le résultat.
Alors ici je coince car je ne comprend pas la question. Poouvez vous m'aideer s'il vous plait??Merci beaucoup d'avance.
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JJeet-chris dernière édition par
Salut.
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C'est bien ça, et on peut mettre rajouter qu'elle est linéaire vu qu'elle passe par 0.
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On se demande pour quels k la fonction fkf_kfk est dérivable en 0. Donc passe par la limite du taux d'accroissement en 0, et regarde quand elle est finie. Pour cela, il va falloir différencier les valeurs de k.
@+
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AAryo dernière édition par
Bonjour Jeet-chris pour ton aide mais je ne comprend pas tout.pourrais tu me donner un exemple" pour la question 2 car malgres ton explication je ne comprend toujours pas la question.
Désolé.merci d'avance
A+
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JJeet-chris dernière édition par
Salut.
Ca va être dur de donner un exemple sans te donner le résultat.
On va prendre le cas particulier où k=0. Toi tu vas devoir d'abord effectuer le calcul avec k, puis discuter de la valeur que doit prendre k.
Donc pour k=0, f0f_0f0(x)=x.
limx→0f0(x)−f0(0)x−0=limx→0xx=1\lim_{x \to 0} \frac{f_0(x) - f_0(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1limx→0x−0f0(x)−f0(0)=limx→0xx=1
Par définition, f0f_0f0 est donc dérivable en 0.
@+
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AAryo dernière édition par
et ca je le fais pour toute les valeur de k
Ou je prend que quelque valeur arbitraire et je dis ce que ca fais??
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AAryo dernière édition par
a non vce que tu m'as donner la c'est la réponse??
Ps: excuse moi aujourd'hui j'ai vraiment pas les yeux en face des trous.
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Zzoombinis dernière édition par
salut ,
=> non tu trouves cette limite en fonction de k
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AAryo dernière édition par
oui mais dans la question numéro 1 on nous dit on:
"Dans la suite on suppose que k ≠ 0."
Malgres cela on a le droit d'utiliser k=0 pour répondre a la deuxième question??
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AAryo dernière édition par
alors si j'ai bien compris je dois faire ceci :
lim ( fkf_kfk(x) - fkf_kfk(0))/(x-0)
x→0
⇒lim ( k√x )/(x)
x→0c'est ca??
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JJeet-chris dernière édition par
Salut.
J'ai utilisé k=0 pour l'exemple. J'ai bien dit "Ca va être dur de donner un exemple sans te donner le résultat".
Pour répondre à ta question, je te l'avais déjà dit : "Toi tu vas devoir d'abord effectuer le calcul avec k, puis discuter de la valeur que doit prendre k".
Merci zoombinis.
C'est presque ça, recalcule le numérateur.
@+
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AAryo dernière édition par
je trouve le meme résultat.
Je fais
lim ( fkf_kfk(x) - fkf_kfk(0))/(x-0)
x→0lim ((x+k√x)-(x+0√x))/x
x→0je trouve donc ensuite:
lim ( k√x )/(x)
x→0Aurais-je fais une faute de calcul??
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JJeet-chris dernière édition par
Salut.
Oui, f0f_0f0(x)≠fkf_kfk(0).
@+
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AAryo dernière édition par
a oui donc ce qui fait donc:
lim (x+ k√x)/(x)
x→0??
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AAryo dernière édition par
dans mon cours c'est dit :
On dit que f tend vers L quand x tend vers x0x_0x0 si et seulement si f(x) peut-être aussi pres que l'on veut de L et le reste pourvu que x soit suffisamment pres de x0x_0x0
L étant une limite finie .
est ce que cela peut nous aider??
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JJeet-chris dernière édition par
Salut.
Ce qui pourrait nous aider c'est que tu commences par simplifier l'expression, puis que tu appliques ton cours sur les limites : "constante / 0" et somme de limites.
@+
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AAryo dernière édition par
comment peut on simplifier cette expression??
en utilisant le conjuguer??
on ne peut pas simplifier comme ca: k√x ??
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JJeet-chris dernière édition par
Salut.
En tenant compte du dénominateur tu devrais obtenir une expression plus agréable pour le calcul de sa limite, parce que pour l'instant tu as affaire à un cas indéterminé, ce qui n'est pas chouette.
@+
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AAryo dernière édition par
comment ca en tenant compte du denominateur??
Pour enlever le x au dénominateur pour avoir une équation non indéterminer, je ne vois vraiment pas comment faire.
a moin que .....
Est ce que je peut faire ceci:
(x+ksqrtsqrtsqrtx)/ (x-0) = ((x+ksqrtsqrtsqrtx )(x+0))/((x-0)(x+0)) ( on multipile par le conjugué)
= (x²+kxsqrtsqrtsqrtx)/(x²)Est ce bon??
mais cela ne nous aide pas plus!!
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AAryo dernière édition par
Bon alors j'ai fais plusieur calcul et j'arrive a un moment a (k/sqrtsqrtsqrtx).
Voici comment j'ai fait:
Je suis partis de cette formule:
(x+ k√x)/(x)J'ai mis en facteur la racine carréet cela me donne a la fin:
(ksqrtsqrtsqrtx)/xensuite je multiplie le dénominateur et le numérateur par sqrtsqrtsqrtx ce qui me donne a la fin :
k/sqrtsqrtsqrtxmais la limite de cette équation est +∞.
Je suis vraiment bloquer . :s :frowning2:
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AAryo dernière édition par
Non c'est bon je pense enfin avoir trouver.
je part de la formule de départ qui est :
(x+ k√x)/(x)
Ensuite je multiplie le numérateur et le dénominateur par √x
ce qui me fait donc au final:
fkf_kfk(x)=1+kx
Et donc la limite de fkf_kfk(x) (quand xtend vers 0)=1
C'est ca??
J'espere que c'est cela, cela me soulage et me rend jouyeux d'avoir enfin un résultat qui concorde ( meme si ce n'est pas sur que cela soit bon je suis :razz: et
. lol.)
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JJeet-chris dernière édition par
Salut.
En faisant un mix de tout ça ça pourrait être partiellement bon. Au début t'étais bien parti, mais un terme était manquant. A la fin c'est du délire, mais le terme revient.
Qu'est-ce qui te gêne au fait que la limite soit infini ? Si elle est finie, la fonction est dérivable, sinon elle ne l'est pas. Rien de choquant, il s'agit juste de répondre à la question.
En plus la forme de fkf_kfk devrait te mettre la puce à l'oreille. Tu dois savoir que x→x est dérivable en 0, alors que x→√(x) ne l'est pas. Donc à vue de nez si k≠0 il risque d'y avoir quelques problèmes de dérivabilité en 0.
Bon je t'écris un calcul correct :
limx→0fk(x)−fk(0)x−0=limx→0x+xxx=limx→0(xx+kxx)=limx→0(1+kx)\lim_{x \to 0} \frac{f_k(x)-f_k(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{x+x\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{x} + \frac{k\sqrt{x}}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( 1+\frac{k}{\sqrt{x}} \right)limx→0x−0fk(x)−fk(0)=limx→0xx+xx=limx→0(xx+xkx)=limx→0(1+xk)
Car √(x)/x = 1/√(x).
On en déduit donc que :
limx→0fk(x)−fk(0)x−0=1+limx→0kx\lim_{x \to 0} \frac{f_k(x)-f_k(0)}{x-0} = 1 + \lim_{x \to 0} \frac{k}{\sqrt{x}}limx→0x−0fk(x)−fk(0)=1+limx→0xk
Que penser de cette dernière limite, et pas d'erreur s'il-te-plait, je sens que tu ne vas pas prendre en considération k, même si la conclusion reste la même.
@+
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AAryo dernière édition par
Je pense que cette limite est égale a +∞, non??
Car si x→0 alors limite √x = 0
lim (1/√x)= +∞
x→0alors lim (k/√x)= +∞
x→0et le 1 devant ne change pas grand chose donc:
1+ lim (k/√x)= +∞
x→0.Est ce que c'est cela??
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JJeet-chris dernière édition par
Salut.
Jeet-chris
et pas d'erreur s'il-te-plait, je sens que tu ne vas pas prendre en considération k@+
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AAryo dernière édition par
Non, désolé je vois pas.
:frowning2:
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JJeet-chris dernière édition par
Salut.
Et si k est négatif ?
@+
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AAryo dernière édition par
a ouè c'est vrai.
(désolé)
Si k est négatif alors la limite est -∞.
Mais en fait la réponse a cette question c'est quoi alors?? l'infini??
Ce n'est que dans le reste du devoir que l'on fait un difference entre un k<0 et un k>0.
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Zzoombinis dernière édition par
Salut
On te demande de répondre à la question c'est pas parce que t'as vu k<0 et k>0 à la fin de ton devoir que ça veut dire que ça n'a pas d'importances avant celà.On t'as demandé la limite selon les valeurs de k ce qui n'est pas exactement la question qu'on te pose mais c'est important pour que tu comprennes ce que tu as à faire.
Pour résumé :
k>0 ou k<0 la limite en 0 est ±∞ La fonction est elle dérivable en 0 ?
ET k = 0 la limite est de 1 La fonction est elle dérivable en 0 ?
interpretation géometrique ? (demande toià quoi correspond geometriquement parlant le nombre dérivé en un point )