Fonctions et suites

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour un exercie.
Voici l'énoncé,

Soit $n∈n∗n\in \mathbb{n^*}$ . On pose

$\varphi : \mathbb{r_+^*\to \mathbb{r}$
$\fbox{x\to xln(1+\frac{1}{x})-1 }$

$\mathbb{r_+}\to \mathbb{r}$
$\fbox{x\to \frac{x^n}{n!}exp{-x} }$

a) Montrer que la fonction $φ\varphi$ peut être prolongée par continuité en 0 en posant $φ(0)=0\varphi(0)=0$ .
b) Etudier $φ\varphi$ et en déduire que $φ≤0\varphi \le 0$
Etudier $f_n$ et exprimer $mn=sup⁡r+fnm_n=\sup_{\mathbb r_+} f_n$ en fonction de $n$ .
On pose $un=ln(mn+1mn)u_n=ln(\frac{m_{n+1}}{m_n})$ . Montrer que $un=φ(n)u_n=\varphi(n)$ .
En déduire que $(mn)n∈n∗(m_n)_{n\in \mathbb{n^*}}$ converge (sans déterminer sa limite)

bon pour la question 1)a
Pour moi, on peut prolonger cette fonction en 0 en posant $φ(0)=0\varphi(0)=0$ si,
$lim⁡x→0φ=0\lim_{x\to 0}\varphi=0$ mais ça n'est pas le cas
$lim⁡x→0φ=−1\lim_{x\to 0}\varphi=-1$ Où est le problème?

pour ce qui est de l'étude de $φ\varphi$ , j'ai trouvé
$φ′(x)=ln(1+1x)−11+x\varphi'(x)=ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{1+x}$
mais je suis bloquer pour résoudre $φ′(x)=0\varphi'(x)=0$
Fau t'il dériver une seconde fois?

Pour la suite je n'est pas encore trouvé...

Salut bourasland,

Pour la 1-a), $lim⁡x→0φ(x)\lim_{x\to 0}\varphi(x)$ n'est pas égale à 0...

Pour déterminer la limite tu peux faire un changement de variable en 1/x, tu devrais ensuite reconnaître une limite connue...

Pour la 1-b), je ne suis pas convaincu de ta dérivation, je te laisse la revoir...

Pour la 2) c'est une simple étude de fonctions même si il y a un paramètre en plus (n).
On verra la suite plus tard...

Bon pour la limite en 0
En posant $x=1xx=\frac{1}{x}$
On ne trouve toujours pas $lim⁡x→0φ=0\lim_{x\to 0}\varphi=0$
On trouve toujours $lim⁡x→0φ=−1\lim_{x\to 0}\varphi=-1$
Or ça n'est pas ce que l'on veut car on veut poser $φ(0)=0\varphi(0)=0$
Pour cela il faut que la limite en 0 soit nulle, non?

Pour ce qui est de ma dérivée je ne vois pas où est le problème...

oui excuse-moi je ne me suis pas bien exprimé, je voulais dire que la limite de xln(1+1/x) quand x tend vers zéro n'est pas nulle, ce que tu sembles dire. Normalement, en faisant ce changement de variable on s'en aperçoit...

Ok oui c'est bon, on trouve bien
$lim⁡x→0φ(x)=0\lim_{x\to 0}\varphi(x)=0$

bon après j'ai étudié $f_n$ et j'ai trouvé,
$mn=nnn!exp−nm_n=\frac{n^n}{n!}exp{-n}$
c'est bien ça?

Oui c'est ça, et pour l'étude de φ où en es-tu ?

bon pour $m_n$ c'est ça puisque j'ai bien trouvé $un=φ(n)u_n=\varphi(n)$
Par contre je n'arrive pas très bien à faire le lien entre $m_n$ et $φ(n)\varphi(n)$ , je sais que $φ(n)\varphi(n)$ converge vers 0 mais après....
Mais comme $un=φ(n)u_n=\varphi(n)$ , par passage à la limite on trouve,
$lim⁡n→+∞un=0\lim_{n\to +\infty}u_n=0$
c'est ça ? (mais on nous demande de ne pas determiner la limite donc....)

Ce n'est pas la convergence de $U_n$ ) que tu cherches mais celle de $M_n$ ). Regarde bien ce que la question 1-b) peux t'apporter...

et bien avec la question 1)b on peut écrire que,
$un≤0u_n\le 0$ , non?

oui et qu'en déduis-t-on concernant $M_n$ ), car c'est $M_n$ ) qui nous intéresse ?

et bien cela veut dire que $mn+1≤mnm_{n+1}\le m_n$

euh je reviens dans 2h environ a+

oui et $M_{n+1}$ ≤ $M_n$ ça veut dire que la suite $M_n$ ) est ...

Donc la suite $m_n$ est décroissante

que te manque-t-il pour savoir qu'elle est convergente ?

Il faut qu'elle soit majorée ou minorée

majorée ou minorée ? Quel est le terme général de cette suite, que peut-on en dire ?

le terme général?
$mn=nnn!exp−nm_n=\frac{n^n}{n!}exp{-n}$

Est-ce que $M_n$ ) doit être minorée ou majorée pour que l'on puisse dire qu'elle converge ?
Que peut-on dire de $M_n$ ?

il faut qu'elle est une limite $l$ finie

ça c'est ce qu'on cherche à démontrer... (converger et admettre une limite finie c'est la même chose)
Je reprends :
On veut montrer que $M_n$ ) est convergente, on sait qu'elle est décroissante, que nous manque-t-il pour affirmer qu'elle est convergente ?

eh bien il faut qu'elle soit minorée non?

oui et au vu de l'expression de $M_n$ ne peux-tu pas minorer par quelquechose d'assez simple ?

$nnn!exp−n≥nn(n+1)!exp−n\frac{n^n}{n!}exp{-n}\ge \frac{n^n}{(n+1)!}exp{-n}$ par exemple ?

Non tu dois minorer par quelquechose qui ne dépend pas de n (et puis j'ai dit un truc simple ...)

ah oui ba
$nnn!exp−n≥0\frac{n^n}{n!}exp{-n}\ge 0$ car $n∈n∗n\in\mathbb{n^*}$

Oui ! Du coup à moins que tu aies d'autres questions ton exercice est fini...

OK eh bien merci beaucoup pour votre aide !