Fonctions et suites



  • Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour un exercie.
    Voici l'énoncé,

    Soit nnn\in \mathbb{n^*}. On pose

    $\varphi : \mathbb{r_+^*\to \mathbb{r}$
    xxln(1+1x)1\fbox{x\to xln(1+\frac{1}{x})-1 }

    f:r+rf: \mathbb{r_+}\to \mathbb{r}
    xxnn!expx\fbox{x\to \frac{x^n}{n!}exp{-x} }

    1. a) Montrer que la fonction φ\varphi peut être prolongée par continuité en 0 en posant φ(0)=0\varphi(0)=0.
      b) Etudier φ\varphi et en déduire que φ0\varphi \le 0

    2. Etudier fnf_n et exprimer mn=supr+fnm_n=\sup_{\mathbb r_+} f_n en fonction de nn.

    3. On pose un=ln(mn+1mn)u_n=ln(\frac{m_{n+1}}{m_n}). Montrer que un=φ(n)u_n=\varphi(n).
      En déduire que (mn)nn(m_n)_{n\in \mathbb{n^*}} converge (sans déterminer sa limite)

    bon pour la question 1)a
    Pour moi, on peut prolonger cette fonction en 0 en posant φ(0)=0\varphi(0)=0 si,
    limx0φ=0\lim_{x\to 0}\varphi=0 mais ça n'est pas le cas
    limx0φ=1\lim_{x\to 0}\varphi=-1 Où est le problème?

    pour ce qui est de l'étude de φ\varphi, j'ai trouvé
    φ(x)=ln(1+1x)11+x\varphi'(x)=ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{1+x}
    mais je suis bloquer pour résoudre φ(x)=0\varphi'(x)=0
    Fau t'il dériver une seconde fois?

    Pour la suite je n'est pas encore trouvé...


  • Modérateurs

    Salut bourasland,

    Pour la 1-a), limx0φ(x)\lim_{x\to 0}\varphi(x) n'est pas égale à 0...

    Pour déterminer la limite tu peux faire un changement de variable en 1/x, tu devrais ensuite reconnaître une limite connue...

    Pour la 1-b), je ne suis pas convaincu de ta dérivation, je te laisse la revoir...

    Pour la 2) c'est une simple étude de fonctions même si il y a un paramètre en plus (n).
    On verra la suite plus tard...



  • Bon pour la limite en 0
    En posant x=1xx=\frac{1}{x}
    On ne trouve toujours pas limx0φ=0\lim_{x\to 0}\varphi=0
    On trouve toujours limx0φ=1\lim_{x\to 0}\varphi=-1
    Or ça n'est pas ce que l'on veut car on veut poser φ(0)=0\varphi(0)=0
    Pour cela il faut que la limite en 0 soit nulle, non?

    Pour ce qui est de ma dérivée je ne vois pas où est le problème...


  • Modérateurs

    oui excuse-moi je ne me suis pas bien exprimé, je voulais dire que la limite de xln(1+1/x) quand x tend vers zéro n'est pas nulle, ce que tu sembles dire. Normalement, en faisant ce changement de variable on s'en aperçoit...



  • Ok oui c'est bon, on trouve bien
    limx0φ(x)=0\lim_{x\to 0}\varphi(x)=0



  • bon après j'ai étudié fnf_n et j'ai trouvé,
    mn=nnn!expnm_n=\frac{n^n}{n!}exp{-n}
    c'est bien ça?


  • Modérateurs

    Oui c'est ça, et pour l'étude de φ où en es-tu ?



  • bon pour mnm_n c'est ça puisque j'ai bien trouvé un=φ(n)u_n=\varphi(n)
    Par contre je n'arrive pas très bien à faire le lien entre mnm_net φ(n)\varphi(n), je sais que φ(n)\varphi(n) converge vers 0 mais après....
    Mais comme un=φ(n)u_n=\varphi(n), par passage à la limite on trouve,
    limn+un=0\lim_{n\to +\infty}u_n=0
    c'est ça ? (mais on nous demande de ne pas determiner la limite donc....)


  • Modérateurs

    Ce n'est pas la convergence de (Un(U_n) que tu cherches mais celle de (Mn(M_n). Regarde bien ce que la question 1-b) peux t'apporter...



  • et bien avec la question 1)b on peut écrire que,
    un0u_n\le 0, non?


  • Modérateurs

    oui et qu'en déduis-t-on concernant (Mn(M_n), car c'est (Mn(M_n) qui nous intéresse ?



  • et bien cela veut dire que mn+1mnm_{n+1}\le m_n



  • euh je reviens dans 2h environ a+


  • Modérateurs

    oui et Mn+1M_{n+1}MnM_n ça veut dire que la suite (Mn(M_n) est ...



  • Donc la suite mnm_n est décroissante


  • Modérateurs

    que te manque-t-il pour savoir qu'elle est convergente ?



  • Il faut qu'elle soit majorée ou minorée


  • Modérateurs

    majorée ou minorée ? Quel est le terme général de cette suite, que peut-on en dire ?



  • le terme général?
    mn=nnn!expnm_n=\frac{n^n}{n!}exp{-n}


  • Modérateurs

    Est-ce que (Mn(M_n) doit être minorée ou majorée pour que l'on puisse dire qu'elle converge ?
    Que peut-on dire de MnM_n ?



  • il faut qu'elle est une limite ll finie


  • Modérateurs

    ça c'est ce qu'on cherche à démontrer... (converger et admettre une limite finie c'est la même chose)
    Je reprends :
    On veut montrer que (Mn(M_n) est convergente, on sait qu'elle est décroissante, que nous manque-t-il pour affirmer qu'elle est convergente ?



  • eh bien il faut qu'elle soit minorée non?


  • Modérateurs

    oui et au vu de l'expression de MnM_n ne peux-tu pas minorer par quelquechose d'assez simple ?



  • nnn!expnnn(n+1)!expn\frac{n^n}{n!}exp{-n}\ge \frac{n^n}{(n+1)!}exp{-n} par exemple ?


  • Modérateurs

    Non tu dois minorer par quelquechose qui ne dépend pas de n (et puis j'ai dit un truc simple ...)



  • ah oui ba
    nnn!expn0\frac{n^n}{n!}exp{-n}\ge 0 car nnn\in\mathbb{n^*}


  • Modérateurs

    Oui ! Du coup à moins que tu aies d'autres questions ton exercice est fini...



  • OK eh bien merci beaucoup pour votre aide !


Se connecter pour répondre
 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Progresse en maths avec Schoolmouv

Apprends, révise et progresse avec Schoolmouv

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.