Fonctions, suites, équivalents et limites...



  • Bonjour, j'ai un exercice un peu difficile à faire, j'aimerais avoir de l'aide dessus.
    Voici l'énoncé,

    1. Soit φ\varphi une fonction continue sur r+\mathbb{r_+} de limite lrl\in \mathbb{r} en ++\infty.
      Montrer qu'il existe x0r+x_0\in\mathbb{r_+} tel que φ(x)1+l|\varphi(x)|\le 1+|l| pour xx0x\ge x_0.

    En déduire que φ\varphi est bornée sur r+\mathbb{r_+} (on pourra montrer, en justifiant les écritures, que φ(x)m+1+l|\varphi(x)| \le m+1+|l| pour tout xrx\in\mathbb{r} avec m=sup[0,x0]φm=\sup_{[0,x_0]}|\varphi|).

    Dans la suite, on considère nnn\in \mathbb{n^*}, fixé, et on pose

    xr+\forall x\in\mathbb{r_+^*}, fn(x)=nx2expnx(1expx)2\fbox{f_n(x)=\frac{nx^2exp{-nx}}{(1-exp{-x})^2}}

    2)a) Trouver un équivalent et la limite de fn(x)f_n(x) lorsque x0x\to 0 et lorsque x+x\to +\infty.
    En déduire un prolongement par continuité de fnf_n en 0 (noté encore fnf_n).
    b) En déduire que fnf_n est bornée sur r+\mathbb{r_+} (utiliser la question 1).
    c) On pose un=supr+fn(x)u_n=\sup_{\mathbb{r_+}}|f_n(x)|. Montrer que limn+un=+\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty

    1. On pose g(x)=x2expxg(x)=x^2exp{-x} pour xr+x\in \mathbb{r_+}. Etudier les variations de g.
    2. Soit $a>0$, et nnn\in\mathbb{n} tel que na2na\ge 2.
      a) Montrer que, pour xax\ge a,

    fn(x)1ng(nx)(1expa)2\fbox{|f_n(x)|\le \frac{1}{n}\frac{g(nx)}{(1-exp{-a})^2}}
    b) En déduire qu'il existe un constante cac_a telle que

    supxafn(x)canexpna\fbox{\sup_{x\ge a}|f_n(x)|\le c_an exp{-na}}
    c) On pose vn=supxafn(x)v_n=\sup_{x\ge a}|f_n(x)|
    Montrer que vn=o(1n2)v_n=o(\frac{1}{n^2}) quand nn tend vers ++\infty.

    donc,

    1. J'ai écrit,
      Soit φ\varphi une fonction continue sur r+\mathbb{r_+} de limite lrl\in\mathbb{r} en ++\infty
      On choisit ϵ=1\epsilon=1
      Il existe donc $x_0>0$ tel que pour tout xr+x\in\mathbb{r_+},

    $x\ge x_0 \longrightarrow |\varphi(x)-l|<\epsilon$
    φ(x)l1||\varphi(x)|-|l||\le 1
    d'où φ(x)1+l|\varphi(x)|\le 1 + |l|
    c'est ça?
    bon après j'ai dit que 1+l1+|l| était un majorant de φ\varphi et que 0 était un minorant de φ\varphi donc elle est bornée.
    2)a Pour l'équivalent en 0, j'ai trouvé : n
    La limite en 0 est n

    Pour l'équivalent en l'infini, j'ai trouvé : nx2expnxnx^2exp{-nx}
    La limite en l'infini est 0

    J'ai déduit le prolongement par continuité de fn(x)f_n(x) en 0 par fn(0)=nf_n(0)=n
    b) il faut que je réponde à la question 1), mais comme fn(x)f_n(x) est continue sur r+\mathbb{r_+} et admet une limite nulle en ++\infty, alors on déduit qu'elle est bornée sur r+\mathbb{r_+}
    c) ça me parrait evident mais je n'arrive pas à le montrer

    1. pas de problème
    2. je n'y arrive pas

  • Modérateurs

    Salut bourasland,
    pour la première question ça m'a l'air juste, mais pour montrer que la fonction est bornée tu te trompes 1+|l| n'est un majorant que sur [x0x_0,+∞] et 0 n'a aucune raison d'être minorant...
    c'est ok pour le 2a et le 2b, pour le 2-c, le sup de |fnf_n| est plus grand que toute valeur fnf_n(x) donc si tu trouvais une valeur de fnf_n qui tend vers +∞ quand n tend vers +∞ tu aurais démontré ce que tu cherches...
    Peux-tu nous donner les résultats que tu trouves au 3 histoire qu'on ait pas à le refaire...



  • donc pour la 3) j'ai trouvé
    g(x)=(2x)xexpxg'(x)=(2-x)x exp{-x}
    g(x)=0g'(x)=0 pour x=2\fbox{x=2} ou x=0\fbox{x=0}

    $\begin{tabular}{|c|ccccccc|}x&0&&2&&&+\infty \ \hline {g'(x)}&0 &+&0&&-& \ \hline \ &&& \frac{4}{exp{2}}&&&& \ {g}&&\nearrow&&\searrow&&&\ &0 &&&&0&\end{tabular}$
    voilà 😄 (long à faire le tableau)


  • Modérateurs

    Le 4-a) n'est pas si dur, il suffit de comparer (1ea(1-e^{-a})² et (1ex(1-e^{-x})² ...



  • ba déjà, si na2na\ge 2 et xax\ge a, alors
    x2nx\ge \frac{2}{n}, mais est ce que c'est utile?


  • Modérateurs

    non ça ce n'est pas utile, mais tu sais que x≥a, donc tu peux comparer (1ex(1-e^{-x})² et (1ea(1-e^{-a})².
    regarde bien ce que vaut g(nx)/n...



  • g(nx)n=nx2expnx\frac{g(nx)}{n}=nx^2 exp{-nx}



  • g(nx)n=fn(x)(1expx)2\frac{g(nx)}{n}=f_n(x)(1-exp{-x})^2



  • et donc on a
    1ng(nx)(1expa)2=fn(x)(1expx)2(1expa)2\frac{1}{n}\frac{g(nx)}{(1-exp{-a})^2}= \frac{f_n(x)(1-exp{-x})^2}{(1-exp{-a})^2}


  • Modérateurs

    tu t'es trompé quelque part dans ton dernier message, il ne te reste plus qu'à faire la comparaison que je t'ai réclamé...

    Tu es en quelle classe / section exactement ?



  • Maths sup PCSI, je sais j'ai un peu de mal...



  • eh bien (1expa)2(1expx)2(1-exp{-a})^2 \le (1-exp{-x})^2
    non?


  • Modérateurs

    Oui, en passant à l'inverse et en multipliant par ce qu'il faut tu retomberas sur ce que tu cherches...



  • OK c'est bon j'ai trouvé pour la 4)a


  • Modérateurs

    pour le 4-b utilise le fait que g est majorée sur mathbbRmathbb{R}.



  • c'est bon, je crois que j'ai trouvé

    ca=a2(1expa)2c_a=\frac{a^2}{(1-exp{-a})^2} c'est ça?


  • Modérateurs

    Oui ça ressemble à ça, pour la c), il s'agit juste d'utiliser le résultat de la question b...



  • donc j'écris que:

    0vncanexpna0\le v_n\le c_an exp{-na}

    limn+canexpna=0\lim_{n\to +\infty}c_an exp{-na}=0

    d'après le théorème des gendarmes on a

    limn+vn=0\lim_{n\to +\infty}v_n=0
    or
    limn+1n2=0\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}=0

    Donc vn=o(1n2)v_n=o(\frac{1}{n^2})


  • Modérateurs

    ouh la, il faudrait que tu revoies ce qu'est un petit o, il ne suffit pas que les deux convergent vers la même limite...



  • u est négligeable devant v s'il existe une suite (ϵn)<em>nn(\epsilon_n)<em>{n\in\mathbb{n}} telle que
    lim</em>n+ϵn=0\lim</em>{n\to +\infty}\epsilon_n=0
    nn\forall n\in\mathbb{n}, un=ϵnvnu_n=\epsilon_n v_n
    mais après comment fait t'on?
    vnv_n tend bien vers 0 en ++\infty ?


  • Modérateurs

    Oui VnV_n tend vers 0 mais ce qu'on te demande en fait c'est de préciser comment elle tend vers 0 et notamment si elle tend plus vite que 1/n² vers 0, donc si n²VnV_n tendait vers 0 ce serait pas mal...



  • 0vncanexpna0\le v_n\le c_an exp{-na}
    0n2vncan3expna0\le n^2v_n\le c_an^3 exp{-na}

    limn+can3expna=0\lim_{n\to +\infty}c_an^3 exp{-na}=0
    D'après le théorème des gendarmes, on a
    limn+n2vn=0\lim_{n\to +\infty}n^2v_n=0
    d'où
    vn=o(1n2)\fbox{v_n=o(\frac{1}{n^2})}


  • Modérateurs

    ok c'est bon, si il y a des trucs que tu as mal compris ou si tu as des questions sur cet exercice, n'hésite pas à demander.



  • OK , merci beaucoup pour votre aide !



  • euh si, ya un truc qui n'est pas encore clair pour moi.

    limx0φ(x)=0\lim_{x\to 0}\varphi(x)=0 ou 1-1 ?

    parce que 00 on ne le trouve qu'en fait le changement de variable x=1xx=\frac{1}{x}, mais est ce qu'on a vraiment le droit de transformer une fonction pour calculer sa limite?

    et puis si on fait ça:

    on pose f(x)=xln(1+1x)f(x)=xln(1+\frac{1}{x})
    $exp{f(x)}=(1+\frac{1}{x})^x \$
    et la limite en 00 de expfexp{f} fait 11

    donc la limite de ff en 00 est égale à ln(1)=0ln(1)=0

    donc la limite de φ(x)\varphi(x)en 00 est 1-1, non?

    De plus sur \texmaple\tex{maple}, il donne 1-1 et sur ma \texti89\tex{ti89} elle donne aussi 1-1, alors qui a raison?

    donc c'est quoi la limite? 1-1 ou 00 😕


  • Modérateurs

    La limite est -1, tu as parfaiement le droit de faire un changement de variable pour trouver la limite, puisque la limite de f(x) quand x tend vers 0 est la même que la limite de f(1/x) quand x tend vers +∞.



  • OK
    mais pour quoi alors on doit montrer qu'on peut faire un prolongment par continuité par φ(0)=0\varphi(0)=0?
    ya une erreur dans l'énoncé? (ça m'étonnerais beaucoup de la part de mon prof...)


  • Modérateurs

    ouh la je crois que je me suis encore emmêlé les pinceaux dans mon dernier mesage entre φ et :x->xln(1+1/x), mais ce que je t'ai dit n'est pas faux φ tend bien vers -1 en 0, il y aurait donc une erreur d'énoncé, qui n'est pas forcément si étonnante, ton prof a peut-être extrait ces questions d'un sujet de concours sans trop vérifier et les sujets de concours sont en général truffés d'erreurs... il faut s'y habituer.



  • bon OK, merci... j'espère que c'est ça !


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