Fonctions, suites, équivalents et limites...

Bonjour, j'ai un exercice un peu difficile à faire, j'aimerais avoir de l'aide dessus.
Voici l'énoncé,

Soit $φ\varphi$ une fonction continue sur $r+\mathbb{r_+}$ de limite $l∈rl\in \mathbb{r}$ en $+∞+\infty$ .
Montrer qu'il existe $x0∈r+x_0\in\mathbb{r_+}$ tel que $∣φ(x)∣≤1+∣l∣|\varphi(x)|\le 1+|l|$ pour $x≥x0x\ge x_0$ .

En déduire que $φ\varphi$ est bornée sur $r+\mathbb{r_+}$ (on pourra montrer, en justifiant les écritures, que $∣φ(x)∣≤m+1+∣l∣|\varphi(x)| \le m+1+|l|$ pour tout $x∈rx\in\mathbb{r}$ avec $m=sup⁡[0,x0]∣φ∣m=\sup_{[0,x_0]}|\varphi|$ ).

Dans la suite, on considère $n∈n∗n\in \mathbb{n^*}$ , fixé, et on pose

$∀x∈r+∗\forall x\in\mathbb{r_+^*}$ , $\fbox{f_n(x)=\frac{nx^2exp{-nx}}{(1-exp{-x})^2}}$

2)a) Trouver un équivalent et la limite de $f_n(x)$ lorsque $x→0x\to 0$ et lorsque $x→+∞x\to +\infty$ .
En déduire un prolongement par continuité de $f_n$ en 0 (noté encore $f_n$ ).
b) En déduire que $f_n$ est bornée sur $r+\mathbb{r_+}$ (utiliser la question 1).
c) On pose $un=sup⁡r+∣fn(x)∣u_n=\sup_{\mathbb{r_+}}|f_n(x)|$ . Montrer que $lim⁡n→+∞un=+∞\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty$

On pose $g(x)=x^2exp{-x}$ pour $x∈r+x\in \mathbb{r_+}$ . Etudier les variations de g.
Soit $a>0$, et $n∈nn\in\mathbb{n}$ tel que $na≥2na\ge 2$ .
a) Montrer que, pour $x≥ax\ge a$ ,

$\fbox{|f_n(x)|\le \frac{1}{n}\frac{g(nx)}{(1-exp{-a})^2}}$
b) En déduire qu'il existe un constante $c_a$ telle que

$\fbox{\sup_{x\ge a}|f_n(x)|\le c_an exp{-na}}$
c) On pose $vn=sup⁡x≥a∣fn(x)∣v_n=\sup_{x\ge a}|f_n(x)|$
Montrer que $vn=o(1n2)v_n=o(\frac{1}{n^2})$ quand $n$ tend vers $+∞+\infty$ .

donc,

J'ai écrit,
Soit $φ\varphi$ une fonction continue sur $r+\mathbb{r_+}$ de limite $l∈rl\in\mathbb{r}$ en $+∞+\infty$
On choisit $ϵ=1\epsilon=1$
Il existe donc $x_0>0$ tel que pour tout $x∈r+x\in\mathbb{r_+}$ ,

$x\ge x_0 \longrightarrow |\varphi(x)-l|<\epsilon$
$∣∣φ(x)∣−∣l∣∣≤1||\varphi(x)|-|l||\le 1$
d'où $∣φ(x)∣≤1+∣l∣|\varphi(x)|\le 1 + |l|$
c'est ça?
bon après j'ai dit que $1 + ∣ l ∣$ était un majorant de $φ\varphi$ et que 0 était un minorant de $φ\varphi$ donc elle est bornée.
2)a Pour l'équivalent en 0, j'ai trouvé : n
La limite en 0 est n

Pour l'équivalent en l'infini, j'ai trouvé : $nx^2exp{-nx}$
La limite en l'infini est 0

J'ai déduit le prolongement par continuité de $f_n(x)$ en 0 par $f_n(0)=n$
b) il faut que je réponde à la question 1), mais comme $f_n(x)$ est continue sur $r+\mathbb{r_+}$ et admet une limite nulle en $+∞+\infty$ , alors on déduit qu'elle est bornée sur $r+\mathbb{r_+}$
c) ça me parrait evident mais je n'arrive pas à le montrer

pas de problème
je n'y arrive pas

Salut bourasland,
pour la première question ça m'a l'air juste, mais pour montrer que la fonction est bornée tu te trompes 1+|l| n'est un majorant que sur [ $x_0$ ,+∞] et 0 n'a aucune raison d'être minorant...
c'est ok pour le 2a et le 2b, pour le 2-c, le sup de | $f_n$ | est plus grand que toute valeur $f_n$ (x) donc si tu trouvais une valeur de $f_n$ qui tend vers +∞ quand n tend vers +∞ tu aurais démontré ce que tu cherches...
Peux-tu nous donner les résultats que tu trouves au 3 histoire qu'on ait pas à le refaire...

donc pour la 3) j'ai trouvé
$g'(x)=(2-x)x exp{-x}$
$g^{'} (x) = 0$ pour $x=2\fbox{x=2}$ ou $x=0\fbox{x=0}$

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}x&0&&2&&&+\infty \ \hline {g'(x)}&0 &+&0&&-& \ \hline \ &&& \frac{4}{exp{2}}&&&& \ {g}&&\nearrow&&\searrow&&&\ &0 &&&&0&\end{tabular}$
voilà (long à faire le tableau)

Le 4-a) n'est pas si dur, il suffit de comparer $1-e^{-a}$ )² et $1-e^{-x}$ )² ...

ba déjà, si $na≥2na\ge 2$ et $x≥ax\ge a$ , alors
$x≥2nx\ge \frac{2}{n}$ , mais est ce que c'est utile?

non ça ce n'est pas utile, mais tu sais que x≥a, donc tu peux comparer $1-e^{-x}$ )² et $1-e^{-a}$ )².
regarde bien ce que vaut g(nx)/n...

$g(nx)n=nx2exp−nx\frac{g(nx)}{n}=nx^2 exp{-nx}$

$g(nx)n=fn(x)(1−exp−x)2\frac{g(nx)}{n}=f_n(x)(1-exp{-x})^2$

et donc on a
$1ng(nx)(1−exp−a)2=fn(x)(1−exp−x)2(1−exp−a)2\frac{1}{n}\frac{g(nx)}{(1-exp{-a})^2}= \frac{f_n(x)(1-exp{-x})^2}{(1-exp{-a})^2}$

tu t'es trompé quelque part dans ton dernier message, il ne te reste plus qu'à faire la comparaison que je t'ai réclamé...

Tu es en quelle classe / section exactement ?

Maths sup PCSI, je sais j'ai un peu de mal...

eh bien $(1−exp−a)2≤(1−exp−x)2(1-exp{-a})^2 \le (1-exp{-x})^2$
non?

Oui, en passant à l'inverse et en multipliant par ce qu'il faut tu retomberas sur ce que tu cherches...

OK c'est bon j'ai trouvé pour la 4)a

pour le 4-b utilise le fait que g est majorée sur $mathbb{R}$ .

c'est bon, je crois que j'ai trouvé

$ca=a2(1−exp−a)2c_a=\frac{a^2}{(1-exp{-a})^2}$ c'est ça?

Oui ça ressemble à ça, pour la c), il s'agit juste d'utiliser le résultat de la question b...

donc j'écris que:

$0≤vn≤canexp−na0\le v_n\le c_an exp{-na}$

$lim⁡n→+∞canexp−na=0\lim_{n\to +\infty}c_an exp{-na}=0$

d'après le théorème des gendarmes on a

$lim⁡n→+∞vn=0\lim_{n\to +\infty}v_n=0$
or
$lim⁡n→+∞1n2=0\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}=0$

Donc $vn=o(1n2)v_n=o(\frac{1}{n^2})$

ouh la, il faudrait que tu revoies ce qu'est un petit o, il ne suffit pas que les deux convergent vers la même limite...

u est négligeable devant v s'il existe une suite $(ϵn)<em>n∈n(\epsilon_n)<em>{n\in\mathbb{n}}$ telle que
$lim⁡</em>n→+∞ϵn=0\lim</em>{n\to +\infty}\epsilon_n=0$
$∀n∈n\forall n\in\mathbb{n}$ , $un=ϵnvnu_n=\epsilon_n v_n$
mais après comment fait t'on?
$v_n$ tend bien vers 0 en $+∞+\infty$ ?

Oui $V_n$ tend vers 0 mais ce qu'on te demande en fait c'est de préciser comment elle tend vers 0 et notamment si elle tend plus vite que 1/n² vers 0, donc si n² $V_n$ tendait vers 0 ce serait pas mal...

$0≤vn≤canexp−na0\le v_n\le c_an exp{-na}$
$0≤n2vn≤can3exp−na0\le n^2v_n\le c_an^3 exp{-na}$

$lim⁡n→+∞can3exp−na=0\lim_{n\to +\infty}c_an^3 exp{-na}=0$
D'après le théorème des gendarmes, on a
$lim⁡n→+∞n2vn=0\lim_{n\to +\infty}n^2v_n=0$
d'où
$\fbox{v_n=o(\frac{1}{n^2})}$

ok c'est bon, si il y a des trucs que tu as mal compris ou si tu as des questions sur cet exercice, n'hésite pas à demander.

OK , merci beaucoup pour votre aide !

euh si, ya un truc qui n'est pas encore clair pour moi.

$lim⁡x→0φ(x)=0\lim_{x\to 0}\varphi(x)=0$ ou $- 1$ ?

parce que $0$ on ne le trouve qu'en fait le changement de variable $x=1xx=\frac{1}{x}$ , mais est ce qu'on a vraiment le droit de transformer une fonction pour calculer sa limite?

et puis si on fait ça:

on pose $f(x)=xln(1+1x)f(x)=xln(1+\frac{1}{x})$
$exp{f(x)}=(1+\frac{1}{x})^x \$
et la limite en $0$ de $exp{f}$ fait $1$

donc la limite de $f$ en $0$ est égale à $l n (1) = 0$

donc la limite de $φ(x)\varphi(x)$ en $0$ est $- 1$ , non?

De plus sur $\tex{maple}$, il donne $- 1$ et sur ma $\tex{ti89}$ elle donne aussi $- 1$ , alors qui a raison?

donc c'est quoi la limite? $- 1$ ou $0$

La limite est -1, tu as parfaiement le droit de faire un changement de variable pour trouver la limite, puisque la limite de f(x) quand x tend vers 0 est la même que la limite de f(1/x) quand x tend vers +∞.

OK
mais pour quoi alors on doit montrer qu'on peut faire un prolongment par continuité par $φ(0)=0\varphi(0)=0$ ?
ya une erreur dans l'énoncé? (ça m'étonnerais beaucoup de la part de mon prof...)

ouh la je crois que je me suis encore emmêlé les pinceaux dans mon dernier mesage entre φ et :x->xln(1+1/x), mais ce que je t'ai dit n'est pas faux φ tend bien vers -1 en 0, il y aurait donc une erreur d'énoncé, qui n'est pas forcément si étonnante, ton prof a peut-être extrait ces questions d'un sujet de concours sans trop vérifier et les sujets de concours sont en général truffés d'erreurs... il faut s'y habituer.

bon OK, merci... j'espère que c'est ça !