Devoir Maison 1ere S Cercle Trigonométrique

On a (C) le cercle trigonométrique. Pr tout x appartenant à [0; $p i$ /2] on a M du cercle (C)/ ( $→^\rightarrow$ OA; $→^\rightarrow$ OM) =x.
Les points NPQ sont les symétriques de M par apport aux axes du repère.

Montrer que l'aire A(x) de l 'hexagone AMNPQ est égale à 2sinx(1+cosx)

J'ai besoin d'aide pour cette question qui bloque réellement tout l'exercice.
Merci de bien répondre et de faire au plus vite pour m'aider.
Encore merci.

Bonjour,

L'énoncé est-il parfaitement recopié ? J'en doute :

C'est quoi le point A ?

Et pour décrire un hexagone, il est préférable d' avoir 6 points !

Excusez j'ai oublié de précisez, le point A a pour coordonnée (1;0) et l'hexagone est AMNBPQ où B(-1;0)

Par symétrie tu dois arriver à montrer que l'aire cherchée =

2 * aire de OMN + 4 * aire de OMA

Aire d'un triangle = côté*hauteur/2

donc aire de OMA = (OA * hauteur issue de M)/2

aire de OMN = (MN * hauteur issue de O)/2

A toi de trouver les longueurs de 2 hauteurs et celle de MN !

Merci énormément, je trouve [MH]=[OK]=sinx où [Mh] est la hauteur issue de M et [OK] la hauteur issue de O. [MN] =2cosx
Donc, 2(2cosxsinx/2)+4(OAsinx/2)=2cosxsinx+2sinx
Je factorise par 2sinx, donc A(x)=cosx+1
Ps: Je sais jamais si on mets cosxsinx ou cossinx ou une autre manière.

oui on écrit 2 cos(x) sin(x) + 2 sin(x) = 2 sin(x) (1 + cos(x) )

Je trouve qu'il et préférable d'utiliser cos(x) et sin(x) comme f(x) que cosx !

Cela permet mieux de comprendre que sin et cos sont des fonctions et de ne pas faire de doux mélanges hasardeux entre tout celà.

J'ai une dernière petite question. Comment peut on justifier que l'hexagone est régulier ?

L'hexagone AMNBPQ n'est absolument pas régulier !

Par exemple MN = 2 cos(x) et en calculant AM tu verras que AM est généralement différent de 2 cos(x).

Pour t'en convaincre un exemple sous forme d'un dessin plus parlant qu'un long discours

AMNBPQ ne semble pas vraiment régulier !

Quelle est vraiment la question posée dans ton énoncé ?

En relisant bien ton énoncé de départ : """"Les points NPQ sont les symétriques de M par apport aux axes du repère.""" . C'est assez ambigu.

Il y a 2 axes donc M a 2 symétriques : l'un par rapport à l'axe des abscisses , l'autre par rapport à l'axe des ordonnées !

On trouve comment le 3ème point ? Serait-ce :

N symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées

P symétrique de N par rapport à l'axe des abscisses

Q symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses

Ce que j'ai traduit, mais qui est peut-être faux !

Merci de nous donner des énoncés complets, C'est juste pour qu'on puisse t'aider de façon plus efficace ! A toi de voir

Eh bien, tout d'abord ils me demandent de montrer A'(x)=2(2cos(x)-1)(cos(x)+1)
Ensuite ils me demandent d'étudier le signe de 2cos(x)-1 sur [0; $p i$ /2]
Déterminer alors la variation de A et trouver pour quel x la valeur de l'aire est maximale.
Justifier alors que l'hexagone en question est régulier.

J'ai tout fait sauf la démonstration de l'hexagone.

L'hexagone que vous avez représenté est juste.
Désolé double post j'avais pas vu les reproches du dernier message.

Il faut que tu prouves que, pour la valeur que tu a trouvée pour A(x) maximale (au fait quelle valeur trouves tu ?) , les longueurs AM et MN sont égales.

MN tu connais.

Avec Pythagore dans AMH (H pied hauteur issue de M dans OAM) , tu dois trouver facilement AM.

On trouve que 2cos(x)-1 sur [0; $p i$ /2] est négatif donc la fonction A(x) croit sur [0;1/2] et décroit sur [1/2; $p i$ /2] donc 1/2 est le maximum sur [0; $p i$ /2]
La valeur de x pour que l'aire de l'hexagone soit maximal est x=1/2.
Merci pour l'astuce de l'hexagone régulier.

Ta solution x = 1/2 me semble très étrange ! Tu ne crois pas que tu devrais plutôt trouver une fraction de π

Parce que sin(1/2) et cos(1/2) ne font pas vraiment partie des valeurs remarquables et connues

Pour résoudre 2cos(x) - 1 = 0 i faut résoudre 2cos(x) = 1 soit

cos(x) = 1/2 et là la solution n'est pas x = 1/2 .... il faut relire ton cours !

Pour répondre, tu peux t'aider de la fiche : Cercle trigonométrique

Ah oui mince je me suis précipité j'ai conclu cos(x)=1/2 et pas x= $p i$ /3
Encore merci