DM: je bloque



  • bonjour
    voilà l'énoncé de mon DM:
    les suites (Un) et (Vn) sont définies par Uo=1 et Vo=12 et pour tout n
    U(n+1)=(Un+2Vn)/3 et V(n+1)=(Un+3Vn)/4

    *on me demande d'organiser le calcul de Un et Vn jusqu'à n=10 avec la calculatrice.
    --->je l'ais fais, je trouve que Un est croissante et majorée par 9 et que Vn est décroissante et minorée par 9...bien sur, tout ceci n'est que des conjectures.

    *on me demande de montrer que la suite Un-Vn est géométrique, puis de trouver sa limite.
    --->j'ai fait la 1ère partie
    je pose Un=(U(n-1)+2V(n-1))/3 et Vn=(U(n-1)+3V(n-1))/4
    donc Un-Vn=(U(n-1)-V(n-1))/12=1/12(U(n-1)-V(n-1)) voilà.est-ce que c'est juste? après je ne trouve pas comment faire pour la limite.

    merci de m'$aider_$



  • Salut.
    On dirait que c'est bon . Ta suite WnW_n = Un-Vn est donc géométrique de raison 1/12. Cette raison est strictement comprise entre 0 et 1, donc WnW_n tend vers 0, lorsque n tend vers inf/.
    A +



  • ah ok, merci beaucoup

    *la question d'après est: montrer que les suites Un et Vn sont adjacentes
    --->vu que l'on sait que Un-Vn tend vers 0, on peut donc dire qu'elle sont adjacentes car cela veut dire qu'elles tentent toutes les 2 vers la même limites...est ce juste?

    *après: montrer que la suite (tn) définie par tn=3Un+8Vn est constante.
    --->je l'ais fait: j'ai remplacé Un et Vn par leurs exprésions respectives..je trouve
    tn=3U(n-1)+8V(n-1) donc cela veut dire que tn est constante...(est-ce encore juste??)
    merci d'avance de votre aide



  • suites adjacentes
    Ce n'est pas suffisant : il faut aussi qu'elles soient rangées dans un certain ordre, par exemple, que UnU_n soit toujours supérieur à VnV_n (je ne dis pas que ce soit forcément le cas ici, vois ça seule).

    Pour tnt_n , il faut faire une récurrence pour aboutir à
    tnt_n = U0U_0 - V0V_0



  • Zauctore

    suites adjacentes
    Ce n'est pas suffisant : il faut aussi qu'elles soient rangées dans un certain ordre, par exemple, que UnU_n soit toujours supérieur à VnV_n (je ne dis pas que ce soit forcément le cas ici, vois ça seule).

    Pour tnt_n , il faut faire une récurrence pour aboutir à
    tnt_n = U0U_0 - V0V_0

    Pour le rangement , est ce juste ?
    Un - Vn =1 / 12 (Un-1 - Vn-1) donc entraine Un - Vn < Un-1 - Vn-1
    donc Un - Un-1 < Vn - Vn-1 donc Un < Vn



  • Salut.
    Ce que tu fais ressemble à une récurrence. Mets-la en forme proprement ; ça m'a l'air correct si c'est de confirmation que tu as besoin.
    A +



  • mon professeur de mathématiques a dit aujourd'hui à la classe, que nous ne pouvions pas prouver que (Un) et (Vn) étaient adjacentes en disant que la différence tendait vers 0 et que Un était rangé par rapport à Vn.
    ils nous a demandé pour le DM de prouver qu'elles étaient adjacentes en montrant que * la différence tendait vers 0

    • l'une était croissante
    • ET l'autre décroissante


  • En effet. Il faut par exemple avoir pour tout n
    u0u_{0 } < u1u_1 < ... < unu_n < vnv_n < ... v1v_1 < v0v_0 et le fait que la limite de la différence unu_n - vnv_n soit zéro.



  • mon professeur de mathématiques a dit aujourd'hui à la classe, que nous ne pouvions pas prouver que (Un) et (Vn) étaient adjacentes en disant que la différence tendait vers 0 et que Un était rangé par rapport à Vn.
    ils nous a demandé pour le DM de prouver qu'elles étaient adjacentes en montrant que

    • la différence tendait vers 0
    • l'une était croissante
    • ET l'autre décroissante


  • il te suffit de determiner Un =f(n) et Vn en fonction de n et tu devrai trouver facilement



  • Pour Flight : je vois pas du tout comment faire celà ...
    Pour Z, auctore :
    je continue à partir de Un - Vn
    donc Un - Vn < Un-1 - Vn-1 <...... < U2 - V2 < U1 - V1 < U0 - V0 mais encore Un - Vn < Un-1 - Vn-1 <......< - 0.08 < -0.92 < -11
    Et là je suis pas sûr de pouvoir conclure si vite mais.... celà implique que Un - Vn est croissante et tend vers 0.... et là c'est sûr Un croissante et Vn décroissante
    Alors ?



  • Ah ! Je n'avais pas saisi ce que tu voulais.

    Tu as montré que (à peu près)
    3 unu_n + 8 vnv_n = k, constante.
    Combien, d'ailleurs ?
    Donc tu peux exprimer unu_n en fonction de vnv_n et récip. Puis remplacer dans l'expression de vn+1v_{n+1} ou de un+1u_{n+1} pour essayer de montrer la monotonie de chacune.
    Essaie comme ça, il me semble que ça doit bien servir à quelquechose, la suite tnt_n ..., non ?

    A plus tard.



  • je n'ais pas de problème pour tn.
    je veux juste savoir si à la question:montrer que (Un) et (Vn) sont adjacentes, je peux mettre ça:
    Un - Vn < Un-1 - Vn-1 <...... < U2 - V2 < U1 - V1 < U0 - V0
    mais encore Un - Vn < Un-1 - Vn-1 <......< - 0.08 < -0.92 < -11
    Et là je suis pas sûr de pouvoir conclure si vite mais.... celà implique que Un - Vn est croissante et tend vers 0.... et là c'est sûr Un croissante et Vn décroissante
    merci d'avance



  • quel est ton niveau?



  • je suis en terminale SI



  • flight : 😲. Elle a posté en Term S.

    Misti : Ce n'était pas ma question.

    Pour montrer que tes suites sont monotones, en suivant l'ordre des questions de ton énoncé, je te propose ceci :

    • sauf erreur de ma part, tu as obtenu ce que j'appelle (E) :

    unu_n = vnv_n - 11/(12n11/(12^n)

    • évalue vn+1v_{n+1} = ... en remplaçant unu_n par l'expression (E)

    Ceci te permettra de montrer que vn+1v_{n+1} < vnv_n pour tout n.

    Le même genre d'idée pour montrer que (un(u_n) est croissante.

    Désolé d'avoir passé tant de temps à répondre à côté.
    A l'avenir, donne recta la suite de tes questions, entre lesquelles tu mets ce que tu as trouvé.



  • alors la, désolé je suis complètement paumée...comment avez vous trouvé
    un = vn - 11/(12n)????



  • Ah, excuse : c'est que tu nous a dit avoir montré que la suite
    (un(u_n - vnv_n) est géométrique de raison 1/12.
    Donc
    unu_n - vnv_n =(uo=(u_o - vov_o) / (12n(12^n)
    et il reste à changer de membre, uou_o et vov_o étant connus.

    C'est ainsi que je trouve (E).

    Reprends ça tranquillement.

    Ensuite, remplace comme je te l'ai dit à 20 : 55.

    Je reviens dans 1/2 h.



  • tu dois arriver à Wn+1=Un+1-Vn+1=1/12(Un-Vn)

    soit Wn+1=(1/12).Wn

    soit Wn=11(1/12)^n. car Uo-Vo=11

    avec ceci il est facile de determiner les expression de Un et Vn en substituant ce resultat dans l'une des deux équations de l'enoncé.

    puis verifier que Lim (Un-Vn) quand n tand vers l'infini est 0
    (verifier au préalable qu'une suite est croissante et l'autre est decroissante)



  • j'ai trouvé...je vous remercie beaucoup pour votre aide. 😄 😉



  • Félicitations.

    Cela a été assez difficile de te donner les informations pertinentes !

    Bon courage pour la suite.


Se connecter pour répondre
 

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.