DM: je bloque

bonjour
voilà l'énoncé de mon DM:
les suites (Un) et (Vn) sont définies par Uo=1 et Vo=12 et pour tout n
U(n+1)=(Un+2Vn)/3 et V(n+1)=(Un+3Vn)/4

*on me demande d'organiser le calcul de Un et Vn jusqu'à n=10 avec la calculatrice.
--->je l'ais fais, je trouve que Un est croissante et majorée par 9 et que Vn est décroissante et minorée par 9...bien sur, tout ceci n'est que des conjectures.

*on me demande de montrer que la suite Un-Vn est géométrique, puis de trouver sa limite.
--->j'ai fait la 1ère partie
je pose Un=(U(n-1)+2V(n-1))/3 et Vn=(U(n-1)+3V(n-1))/4
donc Un-Vn=(U(n-1)-V(n-1))/12=1/12(U(n-1)-V(n-1)) voilà.est-ce que c'est juste? après je ne trouve pas comment faire pour la limite.

merci de m'$aider_$

Salut.
On dirait que c'est bon . Ta suite $W_n$ = Un-Vn est donc géométrique de raison 1/12. Cette raison est strictement comprise entre 0 et 1, donc $W_n$ tend vers 0, lorsque n tend vers inf/.
A +

ah ok, merci beaucoup

*la question d'après est: montrer que les suites Un et Vn sont adjacentes
--->vu que l'on sait que Un-Vn tend vers 0, on peut donc dire qu'elle sont adjacentes car cela veut dire qu'elles tentent toutes les 2 vers la même limites...est ce juste?

*après: montrer que la suite (tn) définie par tn=3Un+8Vn est constante.
--->je l'ais fait: j'ai remplacé Un et Vn par leurs exprésions respectives..je trouve
tn=3U(n-1)+8V(n-1) donc cela veut dire que tn est constante...(est-ce encore juste??)
merci d'avance de votre aide

suites adjacentes
Ce n'est pas suffisant : il faut aussi qu'elles soient rangées dans un certain ordre, par exemple, que $U_n$ soit toujours supérieur à $V_n$ (je ne dis pas que ce soit forcément le cas ici, vois ça seule).

Pour $t_n$ , il faut faire une récurrence pour aboutir à
$t_n$ = $U_0$ - $V_0$

Zauctore

suites adjacentes
Ce n'est pas suffisant : il faut aussi qu'elles soient rangées dans un certain ordre, par exemple, que $U_n$ soit toujours supérieur à $V_n$ (je ne dis pas que ce soit forcément le cas ici, vois ça seule).

Pour $t_n$ , il faut faire une récurrence pour aboutir à
$t_n$ = $U_0$ - $V_0$

Pour le rangement , est ce juste ?
Un - Vn =1 / 12 (Un-1 - Vn-1) donc entraine Un - Vn < Un-1 - Vn-1
donc Un - Un-1 < Vn - Vn-1 donc Un < Vn

Salut.
Ce que tu fais ressemble à une récurrence. Mets-la en forme proprement ; ça m'a l'air correct si c'est de confirmation que tu as besoin.
A +

mon professeur de mathématiques a dit aujourd'hui à la classe, que nous ne pouvions pas prouver que (Un) et (Vn) étaient adjacentes en disant que la différence tendait vers 0 et que Un était rangé par rapport à Vn.
ils nous a demandé pour le DM de prouver qu'elles étaient adjacentes en montrant que * la différence tendait vers 0

l'une était croissante
ET l'autre décroissante

En effet. Il faut par exemple avoir pour tout n
$u_{0 }$ < $u_1$ < ... < $u_n$ < $v_n$ < ... $v_1$ < $v_0$ et le fait que la limite de la différence $u_n$ - $v_n$ soit zéro.

mon professeur de mathématiques a dit aujourd'hui à la classe, que nous ne pouvions pas prouver que (Un) et (Vn) étaient adjacentes en disant que la différence tendait vers 0 et que Un était rangé par rapport à Vn.
ils nous a demandé pour le DM de prouver qu'elles étaient adjacentes en montrant que

la différence tendait vers 0
l'une était croissante
ET l'autre décroissante

il te suffit de determiner Un =f(n) et Vn en fonction de n et tu devrai trouver facilement

Pour Flight : je vois pas du tout comment faire celà ...
Pour Z, auctore :
je continue à partir de Un - Vn
donc Un - Vn < Un-1 - Vn-1 <...... < U2 - V2 < U1 - V1 < U0 - V0 mais encore Un - Vn < Un-1 - Vn-1 <......< - 0.08 < -0.92 < -11
Et là je suis pas sûr de pouvoir conclure si vite mais.... celà implique que Un - Vn est croissante et tend vers 0.... et là c'est sûr Un croissante et Vn décroissante
Alors ?

Ah ! Je n'avais pas saisi ce que tu voulais.

Tu as montré que (à peu près)
3 $u_n$ + 8 $v_n$ = k, constante.
Combien, d'ailleurs ?
Donc tu peux exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$ et récip. Puis remplacer dans l'expression de $v_{n+1}$ ou de $u_{n+1}$ pour essayer de montrer la monotonie de chacune.
Essaie comme ça, il me semble que ça doit bien servir à quelquechose, la suite $t_n$ ..., non ?

A plus tard.

je n'ais pas de problème pour tn.
je veux juste savoir si à la question:montrer que (Un) et (Vn) sont adjacentes, je peux mettre ça:
Un - Vn < Un-1 - Vn-1 <...... < U2 - V2 < U1 - V1 < U0 - V0
mais encore Un - Vn < Un-1 - Vn-1 <......< - 0.08 < -0.92 < -11
Et là je suis pas sûr de pouvoir conclure si vite mais.... celà implique que Un - Vn est croissante et tend vers 0.... et là c'est sûr Un croissante et Vn décroissante
merci d'avance

quel est ton niveau?

je suis en terminale SI

flight : . Elle a posté en Term S.

Misti : Ce n'était pas ma question.

Pour montrer que tes suites sont monotones, en suivant l'ordre des questions de ton énoncé, je te propose ceci :

sauf erreur de ma part, tu as obtenu ce que j'appelle (E) :

$u_n$ = $v_n$ - $11/(12^n$ )

évalue $v_{n+1}$ = ... en remplaçant $u_n$ par l'expression (E)

Ceci te permettra de montrer que $v_{n+1}$ < $v_n$ pour tout n.

Le même genre d'idée pour montrer que $u_n$ ) est croissante.

Désolé d'avoir passé tant de temps à répondre à côté.
A l'avenir, donne recta la suite de tes questions, entre lesquelles tu mets ce que tu as trouvé.

alors la, désolé je suis complètement paumée...comment avez vous trouvé
un = vn - 11/(12n)????

Ah, excuse : c'est que tu nous a dit avoir montré que la suite
$u_n$ - $v_n$ ) est géométrique de raison 1/12.
Donc
$u_n$ - $v_n$ $u_o$ - $v_o$ ) / $12^n$ )
et il reste à changer de membre, $u_o$ et $v_o$ étant connus.

C'est ainsi que je trouve (E).

Reprends ça tranquillement.

Ensuite, remplace comme je te l'ai dit à 20 : 55.

Je reviens dans 1/2 h.

tu dois arriver à Wn+1=Un+1-Vn+1=1/12(Un-Vn)

soit Wn+1=(1/12).Wn

soit Wn=11(1/12)^n. car Uo-Vo=11

avec ceci il est facile de determiner les expression de Un et Vn en substituant ce resultat dans l'une des deux équations de l'enoncé.

puis verifier que Lim (Un-Vn) quand n tand vers l'infini est 0
(verifier au préalable qu'une suite est croissante et l'autre est decroissante)

j'ai trouvé...je vous remercie beaucoup pour votre aide.

Félicitations.

Cela a été assez difficile de te donner les informations pertinentes !

Bon courage pour la suite.