fonction exponnentielle



  • bonjour
    est ce que vous pouver maider a faire cette ex

    soit la fonction g définie sur l'intervalle [0,+∞] par g(x)=x/e^x
    1)a) déterminer la limite de g en +∞
    b)calculer g'(x) et étudier son signe pour x appartenant à [0,+∞]
    c) dresser le tableau de variation de la fonction g
    2)en utilisant 1)c) montrer que pour tout x appartenant à [0,+∞] ,g(x) <1

    merci

    Intervention de Zorro = correction d'une faute d'orthographe dans le titre



  • Bonjour,
    On a g(x) = x/exx/e^x = xexxe^{-x}

    En posant X = -x alors g(X) = XeX-Xe^X

    Et la limite de g(x) quand x tend vers +∞ est égale à la limite de XeX-Xe^X quand X tend vers -∞ ( et là tu dois avoir la réponse dans ton cours)

    Sachant que g(x) = x/exx/e^x = u(x)/v(x) avec

    u(x) = x et u'(x) = ....
    v(x) = exe^x et v'(x) = ....

    et la formule qui donne la dérivée d'un quotient, tu devrais y arriver.



  • merci
    et pour la question 2



  • Que trouves tu pour le tableau de variations de g ?



  • il est décroissant
    je ne suis pas sur



  • La fonction g n'est pas décroissante sur [0,+∞] !

    Que trouves-tu pour g'(x) ?



  • (e^x-xe^x)/(e^x)²



  • Et en mettant exe^x en facteur au numérateur, tu devrais pouvoir simplifier, l'expression de g'(x)

    Pour écrire plus joliment les énoncés avec des puissances, merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.



  • merci
    je trouve: exe^x(1-x) →-
    (ex(e^x)²→+
    donc g'→-
    g→decroissant



  • je me suis trompe c'est croissant



  • Non g'(x) = exe^x(1 - x) / (e(e^x)2)^2 = [ex[e^x (1 - x) ]/ [ex[e^x exe^x] = ... en simplifiant

    De plus si x appartient à [0,+∞] , alors 1 - x n'est pas toujours négatif ! (essaye avec x = 1/2 tu verras que tu trouveras un nombre positif)



  • donc g est positif



  • Non essaye avec x = 2 , tu trouveras un nombre négatif !

    Il faut regarder quand 1 - x > 0



  • je ne comprend pas 😕



  • g(x),=,,1x,exg'(x) ,= ,\frac{ ,1-x ,}{e^x}

    Or exe^x > 0 pour tout x de [0,+∞]

    Il faut donc étudier le signe de 1 - x ; c'est à dire qu'il faut chercher

    pour quelles valeurs de x , on a 1 - x > 0

    pour quelles valeurs de x , on a 1 - x = 0

    pour quelles valeurs de x , on a 1 - x < 0

    Et quand tu auras répondu à ces questions , tu connaîtras le signe de g'(x) ; tu pourras donc dresser le tableau de variations de g.



  • on a pour 1-x>0⇒x<1
    1-x=0⇒x=1
    1-x<0⇒x>1
    donc on pour g'(x)→ + -



  • Voici qui est sommairement résumé mais en effet

    g'(x) > 0 pour 0 ≤ x < 1 donc sur [0, 1[ la fonction g est ....

    g'(x) = 0 pour x = 1

    g'(x) < 0 pour x > 1 donc sur [1,+∞] la fonction g est ....

    Donc la fonction g admet un ..... pour x = 1 et ce .... vaut .....



  • merci
    la fonction g est positive
    la fonction est negative
    donc la fonction g admet un ?



  • On étudie le signe de la dérivée pour en déduire le sens de variation (croissance , décroissance, maximum , minimum etc ...) de la fonction

    D'après le signe de g'(x) on ne peut pas savoir le signe de g(x).



  • Donc la fonction g admet un maximum pour x = 1 et ce maximum vaut 0



  • Tu crois vraiment que g(1) = 0 ? C'est g'(1) qui vaut 0.



  • je crois que g(1) =1/e



  • Oui

    Et donc tu vois comment tu peux trouver la réponse à la question 2)



  • non dsl



  • quelqun peut maider svp :frowning2:


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