Fonction réciproque, équivalents...



  • Bonjour, j'aimerais avoir un peu d'aide pour un exercice.
    Voici l'énoncé:

    L'objet de cet exercice est l'étude de la fonction ff telle que

    f(x)=xf(x)\fbox{f(x)=x^{f(x)}} (1)

    x étant dans un intervalle que l'on déterminera dans le problème.

    1. On pose, pour yr+y\in \mathbb{r_+^*},

    ψ(y)=ln(y)y\fbox{\psi(y)=\frac{ln(y)}{y}}

    a) Etudier ψ\psi.
    b) On note $\psi_1=\psi|_{]0,e]$. De la question précédente, justifier simplement que ψ1\psi_1 admet un fonction réciproque continue φ1\varphi_1, dont on précisera la monotonie, l'ensemble de définition, et les limites aux bornes de cet ensemble.

    1. On définit la fonction ff par:

    x]0,exp(1e)],f(x)=φ1(ln(x))\fbox{\forall x\in ]0, exp(\frac{1}{e})], f(x)=\varphi_1( ln(x))}.

    a) vérifier que ff est bien définie, continue sur ]0,exp(1e)]]0, exp(\frac{1}{e})] et qu'elle vérifie l'équation (1). Quelles sont les variations de ff?
    b) Calculer f(1)f(1) et f(exp(1e))f(exp(\frac{1}{e})).
    c) Montrer que ff peut être prolongée par continuité en 0.

    1. Soit x]0,1[x\in]0,1[ et y=f(x)y=f(x). On pose y=1yy=\frac{1}{y} et x=1xx=\frac{1}{x}.
      a) Montrer que
      ylnxln(lnx)=1+ln(lny)lny\fbox{\frac{y}{ln x}ln(ln x)=1+\frac{ln(ln y)}{ln y}}
      b) En déduire un équivalent de f(x)f(x) lorsque xx tend vers 0.
    • pour la question 1) pas de problème
    • pour la question 2) ça va aussi
    • c'est pour la 3) que j'aimerais avoir de l'aide
      a) faudrait que je montre que Y ln(Y)=ln(X) et là ça marche...


  • personne pour m'aider ? 😕



  • bon il n'y a plus que la question 3)b qui me reste à faire, je n'y arrive pas...


  • Modérateurs

    Salut bourasland,
    tu passes à la limite quand X tend vers +∞ dans l'égalité précédente. En notant que quand X tend vers +∞, x tend vers 0+0^+ et donc Y tend vers +∞ (puisqu'en 0, lim f(x) =0 ). Tu obtiendras alors un équivalent de Y(X) en +∞, qu'il faudra ensuite traduire en un équivalent pour f(x) en 0...


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