Fonction réciproque, équivalents...

[Bourasland]

Bonjour, j'aimerais avoir un peu d'aide pour un exercice.
Voici l'énoncé:

L'objet de cet exercice est l'étude de la fonction $f$ telle que

$\fbox{f(x)=x^{f(x)}}$ (1)

x étant dans un intervalle que l'on déterminera dans le problème.

1. On pose, pour $y\in r_{+}^{\ast }$,

$\fbox{\psi(y)=\frac{ln(y)}{y}}$

a) Etudier $\psi$.
b) On note $\psi_1=\psi|_{]0,e]$. De la question précédente, justifier simplement que ${\psi }_1$ admet un fonction réciproque continue ${\phi }_1$, dont on précisera la monotonie, l'ensemble de définition, et les limites aux bornes de cet ensemble.

2. On définit la fonction $f$ par:

$\fbox{\forall x\in ]0, exp(\frac{1}{e})], f(x)=\varphi_1( ln(x))}$.

a) vérifier que $f$ est bien définie, continue sur $]0,exp(\frac{1}{e})]$ et qu'elle vérifie l'équation (1). Quelles sont les variations de $f$?
b) Calculer $f(1)$ et $f(exp(\frac{1}{e}))$.
c) Montrer que $f$ peut être prolongée par continuité en 0.

3. Soit $x\in ]0,1[$ et $y=f(x)$. On pose $y=\frac{1}{y}$ et $x=\frac{1}{x}$.
   a) Montrer que
   $\fbox{\frac{y}{ln x}ln(ln x)=1+\frac{ln(ln y)}{ln y}}$
   b) En déduire un équivalent de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0.

• pour la question 1) pas de problème
• pour la question 2) ça va aussi
• c'est pour la 3) que j'aimerais avoir de l'aide
  a) faudrait que je montre que Y ln(Y)=ln(X) et là ça marche...

[Bourasland]

personne pour m'aider ?

[Bourasland]

bon il n'y a plus que la question 3)b qui me reste à faire, je n'y arrive pas...

[kanial]

Salut bourasland,
tu passes à la limite quand X tend vers +∞ dans l'égalité précédente. En notant que quand X tend vers +∞, x tend vers $0^{+}$ et donc Y tend vers +∞ (puisqu'en 0, lim f(x) =0 ). Tu obtiendras alors un équivalent de Y(X) en +∞, qu'il faudra ensuite traduire en un équivalent pour f(x) en 0...