Fonction réciproque, équivalents...


  • B

    Bonjour, j'aimerais avoir un peu d'aide pour un exercice.
    Voici l'énoncé:

    L'objet de cet exercice est l'étude de la fonction fff telle que

    $\fbox{f(x)=x^{f(x)}}$ (1)

    x étant dans un intervalle que l'on déterminera dans le problème.

    1. On pose, pour y∈r+∗y\in \mathbb{r_+^*}yr+,

    $\fbox{\psi(y)=\frac{ln(y)}{y}}$

    a) Etudier ψ\psiψ.
    b) On note $\psi_1=\psi|_{]0,e]$. De la question précédente, justifier simplement que ψ1\psi_1ψ1 admet un fonction réciproque continue φ1\varphi_1φ1, dont on précisera la monotonie, l'ensemble de définition, et les limites aux bornes de cet ensemble.

    1. On définit la fonction fff par:

    $\fbox{\forall x\in ]0, exp(\frac{1}{e})], f(x)=\varphi_1( ln(x))}$.

    a) vérifier que fff est bien définie, continue sur ]0,exp(1e)]]0, exp(\frac{1}{e})]]0,exp(e1)] et qu'elle vérifie l'équation (1). Quelles sont les variations de fff?
    b) Calculer f(1)f(1)f(1) et f(exp(1e))f(exp(\frac{1}{e}))f(exp(e1)).
    c) Montrer que fff peut être prolongée par continuité en 0.

    1. Soit x∈]0,1[x\in]0,1[x]0,1[ et y=f(x)y=f(x)y=f(x). On pose y=1yy=\frac{1}{y}y=y1 et x=1xx=\frac{1}{x}x=x1.
      a) Montrer que
      $\fbox{\frac{y}{ln x}ln(ln x)=1+\frac{ln(ln y)}{ln y}}$
      b) En déduire un équivalent de f(x)f(x)f(x) lorsque xxx tend vers 0.
    • pour la question 1) pas de problème
    • pour la question 2) ça va aussi
    • c'est pour la 3) que j'aimerais avoir de l'aide
      a) faudrait que je montre que Y ln(Y)=ln(X) et là ça marche...

  • B

    personne pour m'aider ? 😕


  • B

    bon il n'y a plus que la question 3)b qui me reste à faire, je n'y arrive pas...


  • kanial
    Modérateurs

    Salut bourasland,
    tu passes à la limite quand X tend vers +∞ dans l'égalité précédente. En notant que quand X tend vers +∞, x tend vers 0+0^+0+ et donc Y tend vers +∞ (puisqu'en 0, lim f(x) =0 ). Tu obtiendras alors un équivalent de Y(X) en +∞, qu'il faudra ensuite traduire en un équivalent pour f(x) en 0...


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