[Ts] Etude d'une famille de fonction



  • Bonsoir, j'ai quelques petits problèmes avec mon Devoir Maison de Mathématiques, je vous livre le sujet puis mon raisonnement 🙂

    Etude d'une famille de fonctions

    Soit n un entier naturel non nul.
    On s'interesse à la famille de fonctions définies par :
    -Fn(x)=x(ln x)^n lorsque x>0
    -Fn(0)=0

    1. Montrer que pour x>0 : x(ln x)^n=(nx^1/n * ln x^1/n)^n ; En utilisant lim XlnX=0 quand x tend vers 0, en déduire que les fonctions Fn sont continues en 0.
      Sont-elles dérivables en 0?

    2. Etudier F1 et tracer précisément C1 (repère orthonormale; unité : 5cm).

    3. Etudier les varations de Fn pour n supérieur ou égale à deux (on distinguera deux cas, suivant la parité de n); on donnera les tableaux de variations complets.

    4. Démontrer que toutes les courbes Cn passent par trois points fixes.

    5. Etudier les positions relatives de Cn et de Cn+1 (là aussi, discuter suivant la parité de n).

    6. Application : donner les tableaux de varations de F2 et F3, puis tracer précisément les courbes C2 et C3 sur le même graphique que C1 (tangente particulières, positions relatives, etc..) en utilisants les résultats trouvés dans les questions précédentes.

    Voilà maintenant ce que j'ai commencé à faire :

    1. Pour prouver l'égalité j'ai pris la deuxième partie que j'ai réduit en distribuant les puissances : pas de problème
      Ensuite j'ai fait les limites en me servant de la deuxième partie que j'ai prouvé et de celle donné par l'énoncé, puis pr la dérivabilité en 0 j'ai appliqué la formule de cours
      lim [F(x)-F(0)]/(x-0) quand x tend vers 0 pour trouver 1 donc une limite finie.

    Donc j'ai résolu cette première question.

    1. J'ai étudié F1 ans problème : F1(x)=x(ln x)^1 donc F1(x)=x(ln x)
      Pour la représentation graphique c' la merde à cause de l'unité mais pas de prob!

    2. Bon là ça c'est compliqué,
      J'ai commencé par ma dérivé d'après l'énonce (x>0 et n ≥2) elle me semble vraisemblable : F'(x)=(ln x)^n + xn(ln x)^n-2
      Après j'ai parlé du signe de la fonction f(x)=ln x puis je l'ai appliqué a (ln x) et (ln x)^n-2 et en fonction de la parité de n ainsi que de x (deux cas : 0<x<1 et x>1).
      J'ai ainsi trouvé le signe de F'(x) en fonction de la parité de n. j'ai pu réalisé mes deux tableaux.

    J'obtiens pour n impaire et 0>x>1 f'(x)<0
    n impaire x>1 f'(x)>0
    Pour n pair et x>0 j'ai f'(x)>0.
    après avoir fait mes deux tables j'ai fait Fn(1)=0 puis j'ai calculé la limite commune au deux tableaux en "+ l'infini" pour trouver "+ l'infini".

    Voilà je suis malheureusement bloqué ici, il me manque la limite en 0+ pour n pair et n impaire afin de terminer cette question 3
    J'ai essayé de me pencher sur la question 4 pour avancer mais il doit me manquer la formule à appliqué car je pense qu'il doit s'agir d'une formule. Pour la 5 aucune idée à priori mais je vais essayer de la potasser. La 6 semble être assez simple bien que fastidieuse :s



  • bonjour
    3)la dérivée est F'(x)=(ln x)^n+n(ln x)^(n-1)
    on factorise: =(n+(ln x))*(ln x)^(n-1)
    donc du signe de (ln(x)^(n-1)
    et suivant la parité de (n-1) ...etc...

    1. on résout xln(x)^n=xln(^(n+1)
      soit x*(ln x)[1-lnx]=0
      on trouve effectivement 3 solutions
    2. ressemble beaucoup à la 3...
      ..
      bon courage
      @+

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