Etude de la somme des carrés des entiers de 1 à n
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SSufodia dernière édition par
Bonsoir.
J'ai un "petit" exercice demandant des connaissances du tableur et une maitrise des suites. J'aurais besoin de vous car je suis totalement perdu :frowning2:
Voici l'énoncée :
- On considère la suite u définie par Un = 1²+2²+...+n²
Quelle formule peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul ci-dessous, qui recopiée vers le bas, permet d'obtenir dans la colonne B les termes de la suite u ?
- Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un = (n(n+1)(2n+1))/6 ( Fait )
Ensuite on me demande de demontrer que pour tout entier naturel non nul n : sn = (n-1)(2n-1)/(6n²) et Sn (n-1)(2n+1)/(6n²).
Pourriez vous m'aider ?
Merci.
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SSufodia dernière édition par
J'ai trouvé pour la formule ( du moins je crois ) :
B3 : =B2+A3*A3 car Un=U(n-1) +n².
C'est juste ? Et pour la démonstration par contre j'ai cherché .. je n'y arrive pas
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Bonjour,
Oui en effet ce qui est en B3 est bien
(ce qu'il y a en B2) + (le carré de ce qui est en A3)
Pour le carré dans un tableur tu as le droit d'écrire A3^2
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Pour la démonstration il nous manque :
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la définition de la suite (sn(s_n(sn)
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la définition de la suite (Sn(S_n(Sn)
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SSufodia dernière édition par
Pardon ! Voilà : sn = (1/n^3)(1²+2²+...+(n-1)²) et Sn = (1/n^3)(1²+2²+...+n²)
( ou bien ce n'est pas ça ? :s )
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Si ce n'est peut-être pas cela, comment ceux-tu qu'on ait envie de chercher à t'aider !
Tu dois bien avoir quelque part dans ton énoncé la définition de sns_nsn et SnS_nSn
P.S.
Puissances
Pour écrire plus joliment les énoncés avec des puissances, merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.
Indices
Pour écrire plus joliment les énoncés avec des indices, afin de pouvoir faire la différence entre Un+1U_{n+1}Un+1 et UnU_nUn + 1 merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.
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Pourrais-tu nous dire ce que vaut s1s_1s1 et S1S_1S1 ?
Pourrais-tu nous dire ce que vaut s2s_2s2 et S2S_2S2 ?
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Donc sns_nsn serait peut-être !! sns_nsn = (1/n3(1/n^3(1/n3) * Un−1U_{n-1}Un−1
et SnS_nSn serait peut-être !! SnS_nSn = (1/n3(1/n^3(1/n3) * UnU_nUn
Il suffit peut-être de remplacer UnU_nUn et Un−1U_{n-1}Un−1 par ce que tu as trouvé à la deuxième question ... non ?
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SSufodia dernière édition par
Je confirme c'est bien cela, désolée d'avoir été hésitante
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Et en calculant (1/n3(1/n^3(1/n3) * UnU_nUn avec UnU_nUn = ... (ce que tu a trouvé à la 2ème question)
que trouves-tu ?Et en calculant (1/n3(1/n^3(1/n3) * Un−1U_{n-1}Un−1 avec Un−1U_{n-1}Un−1 = ... ( il suffit de remplacer n par n-1 dans UnU_nUn pour trouver l'expression de Un−1U_{n-1}Un−1)
que trouves-tu ?