Etude de la somme des carrés des entiers de 1 à n



  • Bonsoir.

    J'ai un "petit" exercice demandant des connaissances du tableur et une maitrise des suites. J'aurais besoin de vous car je suis totalement perdu :frowning2:

    Voici l'énoncée :

    1. On considère la suite u définie par Un = 1²+2²+...+n²

    Quelle formule peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul ci-dessous, qui recopiée vers le bas, permet d'obtenir dans la colonne B les termes de la suite u ?

    http://img216.imageshack.us/img216/1039/50095443vg3.png

    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un = (n(n+1)(2n+1))/6 ( Fait )

    Ensuite on me demande de demontrer que pour tout entier naturel non nul n : sn = (n-1)(2n-1)/(6n²) et Sn (n-1)(2n+1)/(6n²).

    Pourriez vous m'aider ?
    Merci.



  • J'ai trouvé pour la formule ( du moins je crois ) :

    B3 : =B2+A3*A3 car Un=U(n-1) +n².

    C'est juste ? Et pour la démonstration par contre j'ai cherché .. je n'y arrive pas 😞



  • Bonjour,

    Oui en effet ce qui est en B3 est bien

    (ce qu'il y a en B2) + (le carré de ce qui est en A3)

    Pour le carré dans un tableur tu as le droit d'écrire A3^2



  • Pour la démonstration il nous manque :

    • la définition de la suite (sn(s_n)

    • la définition de la suite (Sn(S_n)



  • Pardon ! Voilà : sn = (1/n^3)(1²+2²+...+(n-1)²) et Sn = (1/n^3)(1²+2²+...+n²)

    ( ou bien ce n'est pas ça ? :s )



  • Si ce n'est peut-être pas cela, comment ceux-tu qu'on ait envie de chercher à t'aider !

    Tu dois bien avoir quelque part dans ton énoncé la définition de sns_n et SnS_n

    P.S.

    Puissances

    Pour écrire plus joliment les énoncés avec des puissances, merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.

    Indices

    Pour écrire plus joliment les énoncés avec des indices, afin de pouvoir faire la différence entre Un+1U_{n+1} et UnU_n + 1 merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.



  • Pourrais-tu nous dire ce que vaut s1s_1 et S1S_1 ?

    Pourrais-tu nous dire ce que vaut s2s_2 et S2S_2 ?



  • Donc sns_n serait peut-être !! sns_n = (1/n3(1/n^3) * Un1U_{n-1}

    et SnS_n serait peut-être !! SnS_n = (1/n3(1/n^3) * UnU_n

    Il suffit peut-être de remplacer UnU_n et Un1U_{n-1} par ce que tu as trouvé à la deuxième question ... non ?



  • Je confirme c'est bien cela, désolée d'avoir été hésitante 😊



  • Et en calculant (1/n3(1/n^3) * UnU_n avec UnU_n = ... (ce que tu a trouvé à la 2ème question)
    que trouves-tu ?

    Et en calculant (1/n3(1/n^3) * Un1U_{n-1} avec Un1U_{n-1} = ... ( il suffit de remplacer n par n-1 dans UnU_n pour trouver l'expression de Un1U_{n-1})
    que trouves-tu ?


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