Exprimer des distances en fonctions de mesures de segments et angles

[jeje2]

Bonjour,

Est-ce que ce problème de géométrie a une solution ?

Problème :

soit un quadrilatère ABCD tel que
la diagonale AC est la bissectrice de l'angle DCB.
Peut-on exprimer DC et BC ou DC+BC en fonction de AD,AB,AC et de l'angle BAD ?

J'ai pas mal réfléchi à ce problème et voici ce que j'ai trouve pour l'instant:
j'utilise la formule d'Al-Kashi dans certains triangles :

dans ABD:
$b{d}^2=a{b}^2+a{d}^2-2<em>ab</em>ad\ast \cos (dab)$
je connais donc l'expression de la seconde diagonale DB en fonctions de mes variables.

dans ABC:
$a{b}^2=b{c}^2+a{c}^2-2<em>bc</em>ac\ast \cos (bca)$ eq 1

dans ADC:
$a{d}^2=a{c}^2+d{c}^2-2<em>ac</em>dc\ast \cos (adc)$ eq 2

dans BCD:
$b{d}^2=b{c}^2+c{d}^2-2<em>bc</em>cd\ast \cos (bcd)$ eq 3

or comme AC est la bissectrice de BCD, on a la relation suivante pour les angles:$bca=adc=bcd/2$

J'élimine la dépendance angulaire dans les équations 1,2,3 et j'obtiens un système de deux équations non-linéaire a deux inconnues (celles que je cherche) que pour l'instant je ne sais pas résoudre ....

On peut aussi utiliser Al-Kashi dans d'autres triangles, ça donne:

dans ABC:
$b{c}^2=a{c}^2+a{b}^2-2<em>ac</em>ab\ast \cos (bac)$

dans ACD:
$d{c}^2=a{c}^2+a{d}^2-2<em>ac</em>ad\ast \cos (bad-bac)$ eq 4

En utilisant le fait que :
$\sin (bac)/bc=\sin (bca)/ab$ et $\sin (bad-bac)/cd=\sin (bca)/ad$

On obtient une expression (pas tres jolie) pour sin(BAC):
$\sin (bac)=\frac{(a{c}^2+a{b}^2-b{c}^2)<em>\sin (bad)}{2</em>ab<em>ac</em>[\cos (bad)+cd<em>ab/(ad</em>bc)]}$

J'utilise cette dernière équation dans 4, j'obtiens encore une équation couplée mais cette fois-ci fonction aussi de l'angle BAD.

Ça m'avance pas beaucoup. Quelqu'un a-t-il une idée pour résoudre le problème ?
Merci.

Jeje