Problème de géometrie



  • Bonjour,

    Est-ce que ce problème de géométrie a une solution ?

    Problème :

    soit un quadrilatère ABCD tel que
    la diagonale AC est la bissectrice de l'angle DCB.
    Peut-on exprimer DC et BC ou DC+BC en fonction de AD,AB,AC et de l'angle BAD ?

    J'ai pas mal réfléchi à ce problème et voici ce que j'ai trouve pour l'instant:
    j'utilise la formule d'Al-Kashi dans certains triangles :

    dans ABD:
     bd2=ab2+ad22<em>ab</em>adcos(dab)\ bd^2=ab^2+ad^2-2<em>ab</em>ad*\cos(dab)
    je connais donc l'expression de la seconde diagonale DB en fonctions de mes variables.

    dans ABC:
    ab2=bc2+ac22<em>bc</em>accos(bca)ab^2=bc^2+ac^2-2<em>bc</em>ac*\cos(bca) eq 1

    dans ADC:
    ad2=ac2+dc22<em>ac</em>dccos(adc)ad^2=ac^2+dc^2-2<em>ac</em>dc*\cos(adc) eq 2

    dans BCD:
    bd2=bc2+cd22<em>bc</em>cdcos(bcd)bd^2=bc^2+cd^2-2<em>bc</em>cd*\cos(bcd) eq 3

    or comme AC est la bissectrice de BCD, on a la relation suivante pour les angles:bca=adc=bcd/2bca=adc=bcd/2

    J'élimine la dépendance angulaire dans les équations 1,2,3 et j'obtiens un système de deux équations non-linéaire a deux inconnues (celles que je cherche) que pour l'instant je ne sais pas résoudre ....

    On peut aussi utiliser Al-Kashi dans d'autres triangles, ça donne:

    dans ABC:
    bc2=ac2+ab22<em>ac</em>abcos(bac)bc^2=ac^2+ab^2-2<em>ac</em>ab*\cos(bac)

    dans ACD:
    dc2=ac2+ad22<em>ac</em>adcos(badbac)dc^2=ac^2+ad^2-2<em>ac</em>ad*\cos(bad-bac) eq 4

    En utilisant le fait que :
    sin(bac)/bc=sin(bca)/ab\sin(bac)/bc=\sin(bca)/ab et sin(badbac)/cd=sin(bca)/ad\sin(bad-bac)/cd=\sin(bca)/ad

    On obtient une expression (pas tres jolie) pour sin(BAC):
    sin(bac)=(ac2+ab2bc2)<em>sin(bad)2</em>ab<em>ac</em>[cos(bad)+cd<em>ab/(ad</em>bc)]\sin(bac)=\frac{(ac^2+ab^2-bc^2)<em>\sin(bad)}{2</em>ab<em>ac</em>[\cos(bad)+cd<em>ab/(ad</em>bc)]}

    J'utilise cette dernière équation dans 4, j'obtiens encore une équation couplée mais cette fois-ci fonction aussi de l'angle BAD.

    Ça m'avance pas beaucoup. Quelqu'un a-t-il une idée pour résoudre le problème ?
    Merci.

    Jeje


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