Racines cubiques ...

[jey]

J'ai un petit probleme ... je ne sais pas comment faire cet exercice !

On pose A= $sqrt[3]$( $sqrt$5+2) - $sqrt[3]$( $sqrt$5-2).

1°) Montrer que A est racine du polynôme P(x)= x^3 +3x -4
2°) Calculer P(1). En deduire la factorisation de P(x).
3°) Résoudre dans R, l'equation P(x)=0
4°) Que peut-on en conclure de A ?

voilà, Je ne sais pas comment faire la premiere question, j'px ptetre faire la deuxieme mais le probleme, c'est que generalement, les reponses aux premieres questions servent aux suivantes ! ^^

Merci d'avance a ceux qui peuvent m'aider !!! ^^

[flight]

1. il suffit de mettre A dans P soit p(A)=A^3 +3.A-4.

2. p(1) facile! la factorisation sera du type :p(x)=(x-1)q(x) tu pourra obtenir q(x) en effectuant une division euclidienne de p(x) par (x-1).

3. il suffira de résoudre (x-1)q(x)=0 pas trop dur

4. à toi les commandes

[kathe]

pour aider:
soit A= a-b
zvec a= $sqrt[3]$ ($sqrt$5+2 ) et b= $sqrt[3]$( $sqrt$5-2)
on sait que (a-b)^3 =a^3 -b^3 -3ab(a-b)
de plus a^3 -b^3 = 4
P(A)=4 -3ab(a-b) + 3(a-b)-4
P(A)=-3ab(a-b)+3(a-b)=3(a-b)(1-ab)
ab= $sqrt[3]$ ($sqrt$5+2)($sqrt$5-2)=1
...etc à vérifier