fonction :dérivabilité

[amo41]

Bonjour,

J'ai un problème je n'arrive pas à démontrer que la fonction f définie par :
$f(x)=x^{(x+(1/x))}$ sur ]0,+∞[ et f(0)=0
est dérivable sur]0,+∞[, a une demi-dérivée à droite en 0 et que son ensemble de définition est [0,+∞[.
J'ai trouvé que $f(x)=e$^{(xlnx)}$\ast e^{(lnx/x)}$.

quelqu'un peut-il m'aider?
cordialement.

$<em{>}_{Raycage:a\acute{e}rationetr\acute{e}\acute{e}crituredumessagepourplusdeclart\acute{e}...}$

[kanial]

Salut amo41,

Pour la dérivabilité sur ]0,+∞[ il suffit de dire que f est dérivable comme produit/composée de fonctions dérivables sur ]0,+∞[.
Pour la dérivabilité en 0 à droite, il faut que tu passes par le taux de variation : tu calcules la limite de [f(x)-f(0)]/x quand x tend vers $0^{+}$. Normalement tu devrais trouver quelque chose de fini...

[amo41]

raycage
Salut amo41,

Pour la dérivabilité sur ]0,+∞[ il suffit de dire que f est dérivable comme produit/composée de fonctions dérivables sur ]0,+∞[.
Pour la dérivabilité en 0 à droite, il faut que tu passes par le taux de variation : tu calcules la limite de [f(x)-f(0)]/x quand x tend vers $0^{+}$. Normalement tu devrais trouver quelque chose de fini...

bonjour raycage, mais quand tu dis il suffit il n'y a rien a démontrer? il ne faut pas citer le cours ou autres choses?
cordialement et pour la demi droite je pence avoir trouvé

[kanial]

Normalement il n'y a rien de spécial à démontrer, mais ça dépend du niveau d'étude où tu es (?). Enfin, théoriquement tu dois avoir des théorèmes dans ton cours qui disent que la composée de fonctions dérivables est dérivable (sur les intervalles qui conviennent) et que le produit de fonctions dérivables est dérivable et comme tu sais que l'exponentielle, le logarithme népérien, la fonction inverse et l'identité sont dérivables sur ]0,+∞[, il n'y a pas vraiment besoin de démontrer quoi que ce soit.

[amo41]

je suis en première année de DUT.

[amo41]

pour la demi droite je bloque a cet endroit.

(f(x)-f(0))/(x-0)=(x^(x+1/x))/x=(e^xlnx)(e^((lnx)/x)/(e^lnx)
=(e^xlnx)(e^(lnx)/x)*(e^(-lnx))
=(e^xlnx)(e^(lnx(1/x-1)

[kanial]

ça te fait donc : $e^{ln(x)\ast (x-1+1/x)}$
Quelle est la limite de (x-1+1/x) quand x tend vers $0^{+}$ ?
Quelle est la limite de ln(x) quand x tend vers $0^{+}$ ?
A toi de conclure...

[amo41]

ok merci beaucoup.