Compléter les carrés (Algo. de Gauss)



  • Bonjour à tous,

    Je suis nouveau sur le forum, et par ailleurs je ne sais pas si ce post à bien sa place dans la section "supérieur. Peut être devrait-il être dans "lycée".

    Cela dit je suis en L2 Physique, et en cours de math on a vu l'algorithme de Gauss, permettant de trouver une base q-orthogonale d'un espace vectoriel V, pour une forme quadratique q donnée.

    On ne nous a pas démontré la validité de cet algorithme car cela nécessite parait-il la notion d'espace dual, qui est grosso modo hors de notre programme.

    Bref, mon problème est qu'il faut en premiere étape compléter les carrés de la forme quadratique q, et que ça ne me parait pas évident du tout.

    Un exemple simplissime du cours et le suivant :

    Soit u=(x\y\z\t)vu=\left( \begin{array}{c}x\y\z\t \end{array} \right) \in v.
    Soit q:r4r;uq(u)q: \mathbb{r^4} \rightarrow \mathbb{r} ; u \mapsto q(u) tel que

    q(u)=x2+2xy+2xz+2xt+y2+6yz2yt+z2+10zt+t2q(u)=x^2+2xy+2xz+2xt+y^2+6yz-2yt+z^2+10zt+t^2

    q est donc bien une forme quadratique.

    Pour appliquer l'algorithme de gauss à q, il faut compléter les carrés.
    Ce qui donne prmièrement :

    $q(u) = x^2+2(y+z+t)x+y^2+6yz-2yt+z^2+10zt+t^2 \= (x+y+z+t)^2 - (y+z+t)^2+y^2+6yz-2yt+z^2+10zt+t^2 \= (x+y+z+t)^2+4yz-4yt+8zt$

    Jusque là, ça va... ça passe, ça va que c'est l'exemple le plus simple possible.
    Par contre, le passage de la 3eme à la 4eme ligne du bloc suivant me pose un sacré problème. Bien sûr, en développant en partant de la ligne 4 on aboutit bien à la ligne 3, mais je ne comprend pas le raisonnement qu'il faut avoir pour faire le passage dans le sens qui nous interresse:

    On a :
    $4yz-4yt+8zt = 4(yz+(-t)y+(2t)z) \= 4((y+2t)(z-t)+2t^2) \= 4(y+2t)(z-t)+2t^2) \= 4(y+2t)(z-t)+8t^2 \= (y+z+t)^2-(y-z+3t)^2+8t^2$

    Finalement on obtient donc la forme quadratique avec les carrés complétés, comme souhaité.
    Mais je n'aurais jammais pu le faire moi même !
    Comme je l'ai dit, le pire est le passage de la ligne 3 à la ligne 4 du bloc précédent. D'ailleur, le passage de la première à la seconde ligne de ce même bloc ne me pose pas de problème technique, mais il y plusieurs façon de factoriser, et je ne saurai comment décider laquelle est celle qui convient pour converger vers une somme de carrés.

    Pouvez-vous me donner un coup de main ?

    Merci beaucoup par avance.


  • Modérateurs

    Salut psychosmose,

    Pour ton passage délicat, il existe en fait une formule qui est :
    4ab=(a+b)²-(a-b)² qui provient directement de la différence des développements de (a+b)² et (a-b)².

    Mais je ne vois pas du tout quel but tu poursuis, qu'enteds-tu par "compléter les carrés" et comment cela te permet-il de trouver une base q-orthogonale ? Peut-être pourrais-tu nous détailler un peu cet algorithme ...

    Quant à poster dans le forum supérieur, tu fais bien, les histoires d'espaces vecoriels, de bases et de formes quadratiques au lycée ils sont pas tout à fait au courant...



  • Merci beaucoup raycage !
    C'était si simple !

    Comme tu me le demande, je vais préciser le but de tout ça.
    Premièrement, ce que j'entends par "compléter les carré" et de transformer l'expression d'une forme quadratique en somme de carrés (avec eventuellement un coefficient constant).

    Ici on n'y arrive donc car on part de
    q(u)=x2+2xy+2xz+2xt+y2+6yw2yt+z2+10zt+t2q(u)=x^2+2xy+2xz+2xt+y^2+6yw-2yt+z^2+10zt+t^2
    pour arriver finalement à
    $q(u)= (x+y+z+t)^2+4yw-4yt+8zt \= (x+y+z+t)^2+(y+z+t)^2-(y-z+3t)^2+8t^2$

    Ensuite, l'algorithme de Gauss propose de suivre les étapes suivantes :
    On pose
    u=( 1amp;1amp;1amp;1  0amp;1amp;1amp;1  0amp;1amp;1amp;3  0amp;0amp;0amp;1)u=\left(\begin{array}{cccc} \ 1 & 1 & 1 & 1\ \ 0 & 1 & 1 & 1\ \ 0 & 1 & -1 & 3\ \ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)
    la matrice des coeficients devant chaque variable (à l'interrieur des carrés).

    Si uu n'est pas inversible, on la complète en une matrice inversible qq.
    Ici, uu est inversible, on a donc q=uq=u.

    On calcule alors la matrice inverse de qq:
    p:=q1=( 1amp;1amp;0amp;0  0amp;1/2amp;1/2amp;2  0amp;1/2amp;1/2amp;1  0amp;0amp;0amp;1)p:=q^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} \ 1 & -1 & 0 & 0\ \ 0 & 1/2 & 1/2 & -2\ \ 0 & 1/2 & -1/2 & 1\ \ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)

    Et il se trouve que les colonnes de cette matrice forment les vecteurs d'une base q-orthogonale vv.

    La matrice représentative de qq dans la base vv est alors donnée par la matrice diagonale formée par les coeficients devant chaque carré de la forme qq (dont on a précédement "complété les carrés"), c'est a dire ici :
    mat(q,v)=( 1amp;0amp;0amp;0  0amp;1amp;0amp;0  0amp;0amp;1amp;0  0amp;0amp;0amp;8)mat(q,v)=\left(\begin{array}{cccc} \ 1 & 0 & 0 & 0\ \ 0 & 1 & 0 & 0\ \ 0 & 0 & -1 & 0\ \ 0 & 0 & 0 & 8\end{array}\right)

    Voili, voilou. Ca répond à ta demande de précision ?
    Il est clair que cet algorithme est très puissant !
    Comme je l'ai mentionné, je ne connais pas la démonstration, je ne l'ai donc pas "compris". Mais je comprend son utilité 😉.

    Si quelqu'un peut le démontrer je suis preneur. Même si je ne peu pas garantir que je comprendrai du premier coup.


  • Modérateurs

    Merci pour ces explications.

    Je vais me tenter à une explication rapide de quelques points, je ne sais pas si cela t'éclairera beaucoup mais bon ce sera déjà ça...

    Ce qui peut être remarqué rapidement c'est que :
    q(u)=U<em>u</em>Dtq(u)=U<em>u</em>D*^t(U*u) où D est une matrice diagonale.
    (je note u pour la matrice colonne des coordonnées de u)

    Du coup en interprétant U comme une matrice de changement de base (dans le cas où elle est inversible) : c'est la matrice de la base canonique dans une nouvelle base notée v (c'est pour cela que l'on s'intéresse à son inverse qui donne donc la base v exprimée dans la base canonique).

    Et dans cette base v, on a q(u)=u<em>D</em>q(u)=u<em>D</em>^tu=tu=^tuDu puisque D est diagonale et qu'il s'agit d'un scalaire.
    Ce qui montre que D est la matrice de q dans la base v.

    Par contre, pourquoi la base v est-elle q-orthogonale ça je n'ai sais rien encore, mais ça viendra


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