Premier chiffre des puissances de Pi... et de ses copains

[Nivozero]

Bonjour à tou(te)s

En faisant des calculs je suis tombé sur quelque chose qui me paraît intéressant. Si ce n'est pas le cas lancez-moi des pierres.

Le niveau pour apprécier le résultat est ultra basique (c'est le mien !).

Je commence avec une calculatrice à calculer les puissances successives de Pi. Je tape la touche 'Pi' la touche 'x' et ensuite à chaque appui sur la touche '=' le résultat précédent est multiplié par Pi. C'est super facile et rapide.
et j'obtiens la suite :

3,14

9,87

31,01

97,41

306,02

961,39

3020,29

9488,53
...
On remarque l'alternance des 3 et des 9 comme premier chiffre significatif.
Ensuite les 3 sont remplacés par des 2 mais les 9 tiennent bon encore un moment.

La question qui se pose vraiment est : y a-t-il des chiffres privilégiés pour le premier chiffre des puissances de Pi ou bien n'est-ce qu'un hasard pour le début de la suite.

Pour en avoir le coeur net je tape vite fait un petit programme qui va comptabiliser le premier chiffre pour les puissances de Pi jusqu'à la 9 millionième. Pourquoi 9 millions ? Parce que si les neuf chiffres possibles sont bien répartis, j'aurai à peu près un million de chaque chiffre et je verrai d'un coup d'oeil si un chiffre donné apparaît plus ou moins que prévu.

Je lance mon programme. Après une attente angoissée qui s'éternise pendant presque un quart de seconde, j'obtiens un résultat qui me surprend tellement que je vous demande de le vérifier vous-même.

Pour les as de la programmation, aucun problème ! qu'ils se débrouillent !

Pour les autres (ceux qui croient ne pas avoir de langage de programmation sur leur ordi) voici un équivalent de mon programme d'origine (sous Delphi) en VBS. Il est environ cent fois moins rapide et c'est pourquoi je ne le fais calculer que jusqu'à 90000.
Pour l'utiliser c'est simplissime. Sélectionnez-le. Ctrl-C pour le copier. Collez-le dans Notepad et sauvez-le sur le bureau de Windows avec un nom de fichier se terminant par .vbs au lieu de .txt. Pour le lancer, double-clic dessus et c'est tout !

dim chiffres(9)
p=1: n=3.141592653589793
' n entre 1 et 10
for i=1 to 90000
p=p*n : if p>=10 then p = p/10
c=int(p) : chiffres(c)=chiffres(c)+1
next
for i=1 to 9
'affichage des résultats
s = s & i & ": " & chiffres(i) & vbCr
next
msgbox s

Après avoir testé les résultats pour n=Pi, pourquoi ne pas essayer avec d'autres nombres ?
Le nombre de départ pour le programme doit impérativement être ramené entre 1 et 10. Comme c'est uniquement le premier chiffre significatif qui nous intéresse, on divise par 10 dans le calcul dès que le nombre fait mine de dépasser cette limite.

Et maintenant : c'est-y pas magnifique ? surtout en comparant avec les résultats obtenus pour les autres nombres ?

Pour l'explication, un certain nombre d'idées me sont déjà venues :

• mon programme est faux : il additionne des vessies avec des lanternes. (C'est pour ça que je vous demande de vérifier)
• les résultats sont pourris par les erreurs d'arrondi
• C'est un hasard : on n'examine pas suffisamment de nombres.
• Il est juste mais pourquoi ?
• Plus rien ne m'étonne. Les maths c'est n'importe quoi !

Expérimentez bien et comparons les résultats.

[Nivozero]

Bonjour tout le monde

J'espère que vous avez passé un très bon week-end.

Pour ma part, je n'ai toujours pas de solution ni même un début de piste à mon problème.
Toutes mes excuses pour vous l'avoir exposé d'une manière un peu confuse.
Je le reformule donc de façon plus directe :

Si mes résultats sont justes, les premiers chiffres des puissances de Pi sont répartis ainsi :

En fait,(à quelques rares exceptions près), si je prends comme point de départ un nombre quelconque à la place de Pi, j'obtiens une répartition très semblable.

Je m'attendais à trouver des fréquences sensiblement égales pour chaque chiffre.

Pourquoi y a-t-il plus de 1 que de 2, plus de 2 que de 3 et ainsi de suite ?

D'avance, merci beaucoup.

[Thierry]

Bonjour,

Essaye de faire le même diagramme avec les puissances des chiffres de 2 à 9 pour voir.

Pour l'instant ma théorie se borne à penser que le même diagramme pour le chiffre 3 sera ressemblant à celui de π ...

[Nivozero]

Bonsoir

Aussitôt dit, aussitôt fait. J'adore faire des calculs. C'est plus facile que de faire des raisonnements.
Et en plus je suis bluffé par la rapidité de réaction de Thierry pour mon second message. Je m'attendais plus ou moins à patienter encore quelques jours.
Merci.

Bon. On se retrouve au point de départ. C'est toujours la même répartition.
D'autres idées (même farfelues...) Je suis prêt à tout tenter.

Merci encore

[Thierry]

Ton premier diagramme n'était donc pas une particularité de π ...

[Jeet-chris]

Salut.

$m^n$ = $e^{nln(m)}$ = $(e$^n${)}^{ln(m)}$

Quand on passe d'un nombre à l'autre, la seule chose qui change quand on calcule sa puissance c'est ce ln(m). Peut-être que c'est dû au fait que ln ne varie pas beaucoup.

Sinon on peut jouer avec les puissances pour voir que tout tend vers le 1. Je ne m'intéresse qu'au 1er chiffre en négligeant le reste.

9²=81 ⇒ 9 devient 8
8²=64 ⇒ 8 devient 6
7²=49 ⇒ 7 devient 4, mais presque 5 si on ne néglige pas le reste
6²=36 ⇒ 6 devient 3, mais presque 4 si on ne néglige pas le reste
5²=25 ⇒ 5 devient 2
4²=16 ⇒ 4 devient 1
3²= 9 ⇒ 3 devient 9 mais presque 1, sinon 9 → 8 → 6 → 4 → 1
2²= 4 ⇒ 2 devient 4 qui devient 1
1²= 1 ⇒ 1 reste 1

Quand je raisonne sur les puissances du premier chiffre, j'ai l'impression que l'on est aspiré vers le 1. En plus quand on déborde du 1 (en tenant compte du deuxième chiffre), il devient 2 qui devient 4 qui devient 1.

En fait dès que l'on est arrivé à 1, c'est difficile d'en sortir, ce qui explique sa prédominance, puis le 2 qui est le chiffre que l'on rencontre quand on sort du 1.

Les légères fluctuations doivent venir du temps que l'on met pour arriver au 1 par exemple.

Là je ne me suis intéressé qu'au carré que l'on va rencontrer de toute manière dans les puissances. Puissance 2, puissance 4=2×2, puissance 8=2×2×2. Ca c'est pour le cycle des puissance de 2. Maintenant il faudrait s'intéresser à tous les autres cycles de 3 à 9 pour voir ce qu'il se passe. De toute manière 1 va être dominant vu que 1 puissance n'importe quoi ça fait 1. Ensuite on déborde vers 2, donc 2 et vice-prédominant. C'est là que ça se gâte.

Ce qui est marrant c'est l'allure exponentielle de ta répartition. Peut-être qu'il faut revenir à la formule du haut pour comprendre en effectuant des approximations sur m.

Par exemple : m=202=2×$10^2$+2×$10^0$≈2×$10^2$

Puis ln(m)=ln(2)+2×ln(10)≈2×ln(10)
Donc $m^n$≈$(e$^{nln(10)}${)}^2$
Et là le ln(10) est commun à tout le monde, c'est le 2 qui diffère, mais on se ramène à l'engrenage des puissances de 2 qui est déjà avancé d'un cran.

Maintenant d'un point de vue démonstration je n'en sais rien du tout, faudrait y réfléchir, là je n'écris que ce qui me passe par la tête.

@+

[Thierry]

Jeet-chris

9²=81 ⇒ 9 devient 8
8²=64 ⇒ 8 devient 6
7²=49 ⇒ 7 devient 4, mais presque 5 si on ne néglige pas le reste
6²=39 ⇒ 6 devient 3, mais presque 4 si on ne néglige pas le reste
5²=25 ⇒ 5 devient 2
4²=16 ⇒ 4 devient 1
3²= 9 ⇒ 3 devient 9 mais presque 1, sinon 9 → 8 → 6 → 4 → 1
2²= 4 ⇒ 2 devient 4 qui devient 1
1²= 1 ⇒ 1 reste 1

Quand je raisonne sur les puissances du premier chiffre, j'ai l'impression que l'on est aspiré vers le 1. En plus quand on déborde du 1 (en tenant compte du deuxième chiffre), il devient 2 qui devient 4 qui devient 1.

En fait dès que l'on est arrivé à 1, c'est difficile d'en sortir, ce qui explique sa prédominance, puis le 2 qui est le chiffre que l'on rencontre quand on sort du 1.
Sympa ta liste. C'est très parlant.

Pour une démonstration, je penserais plutôt à un arbre de probabilités conditionnelles d'apparition des chiffres sachant que tel chiffre est précédemment apparu.
On obtiendrait des "suites probabilistes" $(p_n$) d'apparition d'un chiffre au rang n ...

[Nivozero]

Très sympa.

On s'absente un moment pour regarder "Indiana Jones et la dernière croisade" à la télé, et pendant ce temps vous faites une petite recherche du Saint Graal mathématique pour moi.

J'avoue que je n'ai pas tout compris ce que dit Jeet-chris. Mais je vais relire encore et peut-être que ça deviendra plus clair.

Par contre l'idée de "suite probabiliste" me donne des idées.
Je vais voir.

Mais les suites que je propose ne sont pas aléatoires et il ne faut pas oublier que certains nombres font exception. Il s'agit des racines Nièmes de 10. On voit facilement par exemple que
$sqrt10$ ne donne que des 1 et des 3 à parts égales.

@+

[Zauctore]

salut (ça faisait longtemps)

voyez la "Loi de Benford" (ou de Newcomb) sur wikipedia

Loi de Benford

@+

lien rendu cliquable

[Thierry]

En effet c'est très intéressant.
La ressemblance entre le diagramme de Nivozero et celui de la loi de Benford est frappante !

Cependant
Wikipédia
la convergence vers les valeurs de la loi de Benford n'est qu'approximative

Morceaux choisis :
Wikipédia
Cette distribution aurait été découverte une première fois en 1881 par Simon Newcomb, un astronome américain, après qu'il se fut aperçu de l'usure (et donc de l'utilisation) préférentielle des premières pages des tables de logarithmes
Wikipédia
La loi de Benford est utilisée aux États-Unis, ainsi que dans d'autres pays, dont la France, pour détecter des fraudes fiscales!!!
Mais j'ai lâché la démonstration à partir de "groupe topologique" ...

Nivozero, tu as donc découvert cette loi après Newcomb et Benford mais tu ne pourras pas lui donner ton nom ^^

[Nivozero]

Bonjour

Zauctore ça c'est une réponse concise et efficace !

Et je n'y avais pas pensé mais dommage ! La Loi de Nivozero, ça l'aurait fait !

Comme Thierry, j'ai un peu laché (je me suis sauvé en courant) devant les explications.

Depuis un moment je me doutais bien que c'était la multiplication qui était en cause. En effet on obtient une distribution régulière avec l'addition.

Thierry

La ressemblance entre le diagramme de Nivozero et celui de la loi de Benford est frappante !
Cependant
Wikipédia
la convergence vers les valeurs de la loi de Benford n'est qu'approximative

Et bien non ! :evil: C'est précisément la même. Je le montre avec mon exemple sur les puissances de Pi.

A chaque fois que j'écris log, il s'agit du log en base 10.

Au lieu de partir de 1 et de multiplier par Pi à chaque fois, je pars de 0 et j'ajoute le log de Pi ~0,4971.

Au lieu de diviser par 10 si le résultat dépasse 10, je soustrait log(10) = 1 dès qu'il dépasse 1.

J'obtiens donc à chaque étape une nombre compris entre 0 et 1.

Puisque log($pi$) n'est pas une fraction on va couvrir tout l'intervalle [0,1[ de façon régulière. (Ce n'est pas une démonstration mais c'est assez intuitif).

Maintenant que j'ai établi (à l'arrache) que la distribution du log des puissances de Pi est uniforme, remonter au premier chiffre des puissances elles-mêmes est un jeu d'enfant.

Intervalle Premier chiffre Proportion
0 à log(2) 1 30,10% = log(2)
log(2) à log(3) 2 17,61% = log(3) - log(2)
log(3) à log(4) 3 12,49% = etc...
log(4) à log(5) 4 9,69%
log(5) à log(6) 5 7,92%
log(6) à log(7) 6 6,69%
log(7) à log(8) 7 5,80%
log(8) à log(9) 8 5,12%
log(9) à 1 9 4,58%

Je retrouve bien les résultats exposés dans l'article de Wikipedia. Et pour coller tout à fait à la formule donnée dans cet article il suffit de voir que ma formule qui traduit simplement le découpage de l'intervalle [0,1[ entre chaque chiffre est juste une forme différence de log(1+1/n).

Bon week-end