Probabilité



  • Un joueur est placé devant 4 portes fermées A, B, C, D.
    Derrière l'une d'elles se trouve une voiture et les 3 autres sont vides.
    Il choisit au hasard une porte.
    Puis le présentateur ouvre les 2 portes parmi 3 portes restant:
    elles sont toutes vides (il savait qu'elle sont vides, il n'ouvre jamais la porte contanant la voiture!!!)

    Question:
    Vaut-il mieux garder son choix ou le changer, afin d'avoir plus de chance pour gagner la voiture ?
    En clair, quelle est la probabilité de la porte restant ? il est clair que p(porte choisie)=1/4


  • Modérateurs

    Salut morpho,

    Il faut changer de porte ! En effet, notons A la porte choisie au début, on a 1 chance sur 4 que la voiture soit derrière cette porte et on a 3 chances sur 4 qu'elle soit derrière l'une des portes B, C ou D, en éliminant 2 de ces portes le présentateur n'en réduit pas la probabilité de 3/4 qu'il y ait la voiture derrière la porte restante.
    Par conséquent tu as 3 chances sur 4 que la voiture soit derrière la porte que tu n'avais pas choisie au départ...

    Remarque : ce truc est expliqué (très mal à mon goût) dans le médiocre film Las Vegas 21 sorti récemment.



  • Bonjour raycage,

    Merci de ta réponse, mais je pense que ton raisonnement est incorrect !! c'est justement la plus part des gens réponse ainsi, à cause du probleme Monty Hall (avec 3 portes la réponse est effectivement 2/3)

    Mais mon calcul montre que p(la porte restant) = 3/8 et non pas 3/4
    pour n portes j'ai trouvé la formule:

    p(la;porte;restant)=n1n(n2)p(la ;porte ;restant) = \frac{n-1}{n(n-2)}

    Voici l'arbre de probabilité:

    http://img509.imageshack.us/img509/2928/montyhallntt0.gif


  • Modérateurs

    Il est fort possible que j'ai dit une bêtise (les probas c'est pas trop mon truc), mais si tu pouvais expliquer ton calcul/raisonnement, ce serait pas mal parce que ton arbre n'est pas des plus explicites et je ne vois pas d'où vient le (n-1)/n(n-2).

    On est bien d'accord que le présentateur ouvre n-2 portes après le choix ?

    En fait si tu connais la réponse pourquoi poses-tu la question ?



  • Bonjour raycage,

    voici mon calcul (pour n=4)
    Supposons que le joueur ait choisi la porte D. Alors:
    -Si la voiture est deriere D alors le présentateur ouvre au hasard 2 portes (chaque porte a une probabilité 1/3)
    -Si la voiture est deriere C alors le présentateur ouvre les portes A,B (mais pas C , p(C)=0, alors p(A)=1/2, p(B)=1/2 A,B sont équitables)
    -Si la voiture est deriere B alors le présentateur ouvre les portes A,C
    -Si la voiture est deriere A alors le présentateur ouvre les portes B,C

    l'arbre de probabilité est:

    http://img229.imageshack.us/img229/899/montyhall2oh7.gif

    On a alors p(porte restant) = pa(c)p_a(c)

    et

    p(porte choisi) = pa(d)p_a(d)

    pa(c)=14.1214.12+14.12+14.0+14.13=38p_a(c) = \frac{ \frac{1}{4}. \frac{1}{2} }{ \frac{1}{4}. \frac{1}{2} + \frac{1}{4}. \frac{1}{2} + \frac{1}{4}.0 + \frac{1}{4}.\frac{1}{3}} = \frac{3}{8}

    Et

    pa(d)=14.1314.13+14.12+14.12+14.0=14p_a(d) = \frac{ \frac{1}{4}.\frac{1}{3} } { \frac{1}{4}. \frac{1}{3} + \frac{1}{4}. \frac{1}{2} + \frac{1}{4}. \frac{1}{2} + \frac{1}{4}.0 } = \frac{1}{4}

    la formule provient de la généralisation pour n portes.

    On a alors p(porte restant) = pa2(a1)=n1n(n2)p_{a_2}(a_1) = \frac{n-1}{n(n-2)}

    Citation
    En fait si tu connais la réponse pourquoi poses-tu la question ?
    Je pose la question c'est simplement je ne suis pas sur sur à 100% de mon raisonnement !!!



  • humf... 1/4 + 3/8 # 1
    or PC+PD represente l emssemble des issues et doit etre egale a 1
    donc si PD = 1/4 , fatalement PC = 3/4


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