aide au devoir de spé

[couettecouette]

je ne comprend pas l'exercice suivant:

1)montrez que,quels que soient les entiers naturels a, b, n, a-b divise aⁿ-bⁿ.
2)Déduisez en que, pour tout entier naturel n pair, 3 divise 2ⁿ-1.
3)Montrez alors que, pour tout n≥1,
$An=(2$^{2n+1}$+2^{2n}$+1) div/ 3 est un entier naturel.

je vous remercie d'avance pour votre aide

[Zauctore]

Salut.

Il existe des identités remarquables comme

a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)

qui se généralisent à l'exposant n :

a^n - b^n = (a - $b)(a^{n-1}$ + $a^{n-2}$ b + ... + a $b^{n-2}$ a + $b^{n-1}$)

vues en classe de 1re, normalement.

ceci montre le 1°.

Pour 2°, pense à traduire l'énoncé par $2^{2k}$ , puisque n = 2k est pair. Applique la formule que je t'ai donnée.

Fais déjà ça.

A +

[flight]

je te donne la reponse du 1)

si tu a vu les congruences modulo tu devrais t'en sortir,

on sait que (a-b) est congruent à 0 modulo (a-b)

et que a est congruent à b modulo (a-b)

comme a conguent à b modulo c permet d'écrire que

a^n est congruent à b^ modulo c

alors

a^n est congruent à b^n modulo (a-b)

si bien que a^n-b^n est congruent à 0 modulo (a-b) est donc (a-b) divise a^n-b^n.

[flight]

...un petit geste ....pour le 2 tu poses a=2² et b=1.

[couettecouette]

dsl mais je n'ai pas encore vu la congruence modulo! Et là je ne comprend toujours pas mon exercice que je doi le finir pour demain!!

aidez moi vite svp!!!!

[titor]

c'est quoi que tu ne comprends pas tout me semble expliqué

[couettecouette]

je n'arrive pas la question 3 en fait

[Zauctore]

Salut couettecouette.

Souviens-toi que 1+q+q^2 = (q^3-1) / (q-1).

Alors pour ton $A_n$ , tu as $q=2^{2n}$ .

Dans ce cas, $A_n$ = $(2$^{2n}${)}^3$ -1.

C'est, me semble t-il, la question 2 qui permet de finir.

A +