nombres entiers



  • bonjour a vous tous
    a et b sont deux entiers naturels tels que a>b
    montrer que a²+b²/a²-b² n est pas entier
    j ai utilise le raisonnement par absurde ..mais n a rien donne



  • Je pense qu'un raisonnement par l'absurde va fonctionner en considérant la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre entier n\small n tel que
    n=a2+b2a2b2.n = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}.
    Voici ce qu'il me semble :

    Lorsque p\small p est un facteur premier de a\small a et b\small b, et puisque $\small a-b > 0$, alors il intervient avec le même exposant dans les décompositions de a2+b2\small a^2+b^2et de a2b2\small a^2-b^2, non ?

    Donc si p\small p est un facteur de n\small n, c'est-à-dire si n=npk\small n = n' p^k, où p\small p ne divise plus n\small n', alors l'égalité
    a2+b2=pkn(a2b2)a^2+b^2 = p^k n' (a^2-b^2)
    fournit une contradiction en raisonnant sur l'exposant de p\small p de part et d'autre du signe d'égalité.



  • merci Zauctore
    j ai pas bien compris la phrase
    <<
    Lorsque est un facteur premier de et , et puisque , alors il intervient avec le même exposant dans les décompositions dea²+b² et dea²-b² , non ?>>

    comment



  • je n'ai pas été trop affirmatif pour te laisser réfléchir.

    en fait, je voulais dire que si p est un nombre premier qui divise les nombres entiers distincts u et v (en changeant de notations), alors p divise u+v et u-v avec le même exposant.

    par exemple : 3 divise 12 et 9 ; 3 divise 12+9=21=7×3 et 3 divise 12-9=3.

    c'est un fait général qu'on voit sur les décompositions canoniques en produit de facteurs premier.


Se connecter pour répondre
 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Progresse en maths avec Schoolmouv

Apprends, révise et progresse avec Schoolmouv

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.