nombres entiers

bonjour a vous tous
a et b sont deux entiers naturels tels que a>b
montrer que a²+b²/a²-b² n est pas entier
j ai utilise le raisonnement par absurde ..mais n a rien donne

Je pense qu'un raisonnement par l'absurde va fonctionner en considérant la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre entier $n\small n$ tel que
$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}.$
Voici ce qu'il me semble :

Lorsque $p\small p$ est un facteur premier de $a\small a$ et $b\small b$ , et puisque $\small a-b > 0$, alors il intervient avec le même exposant dans les décompositions de $a2+b2\small a^2+b^2$ et de $a2−b2\small a^2-b^2$ , non ?

Donc si $p\small p$ est un facteur de $n\small n$ , c'est-à-dire si $n=n′pk\small n = n' p^k$ , où $p\small p$ ne divise plus $n′\small n'$ , alors l'égalité
$a^2+b^2 = p^k n' (a^2-b^2)$
fournit une contradiction en raisonnant sur l'exposant de $p\small p$ de part et d'autre du signe d'égalité.

merci Zauctore
j ai pas bien compris la phrase
<<
Lorsque est un facteur premier de et , et puisque , alors il intervient avec le même exposant dans les décompositions dea²+b² et dea²-b² , non ?>>

comment

je n'ai pas été trop affirmatif pour te laisser réfléchir.

en fait, je voulais dire que si p est un nombre premier qui divise les nombres entiers distincts u et v (en changeant de notations), alors p divise u+v et u-v avec le même exposant.

par exemple : 3 divise 12 et 9 ; 3 divise 12+9=21=7×3 et 3 divise 12-9=3.

c'est un fait général qu'on voit sur les décompositions canoniques en produit de facteurs premier.