petit problème de math : une chèvre dans un enclos circulaire ...

[stan75]

bonjour je suis en pcsi et j'ai un peu de mal à résoudre le problème suivant pourriez-vous s'il vous plait m'apporter votre aide:
une chèvre est reliée à une crode de longueur l à un pieu fixé en un point A de la circonférence d'un enclos circulaire C de centre O de rayon R et d'herbe tendre
On se propose au travers des quetions qui suivent de montrer qu'il existe un unique réel l s'exprimant en fonction de R , tel que la chèvre puisse brouter au maximun la moitié de l'herbe de l'enclos
0) on peut supposer que R≤l≤2R pourquoi? celle ci j'ai réussi à la montrer

1. soint M et N les points de contact du cercle de centre O et de rayon R avec celui de centre A et de rayon L on note θ=l'angle MAN et a l'aire commune aux diques définis par les deux cercles précédents montrer que a=R²($pi$+θcosθ-sinθ)
2. établir que le problème posé est résolu par le système :

sinθ-θcosθ=$pi$/2, 0<θ<$pi$
l=2Rcos(θ/2)
3a)
monter que l'équation sinx-xcosx=$pi$/2 admet une unique solution θ${}_0$ dans [0,$pi$], conclure quant au problème posé.
b) déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de θ${}_0$

merci d'avance pour votre aide

modif : titre

[stan75]

j"essaye depuis lontemps mais je trouve pas

[Thierry]

Salut,

Il me semble que j'ai quelques pistes ...

Pour la question 2, on peut peut-être y arriver en se servant de la formule (que tu devras sans doute démontrer) qui donne l'aire d'une portion de cercle (entre un arc et sa corde) :

Je l'ai trouvée sur le site de Thérèse : volume d'une cuve.
En effet l'aire recherchée est la somme de 2 portions des 2 cercles ...

Ensuite il faut chercher à se débarrasser de L qui n'apparaît pas dans la formule de ton exercice ...

[stan75]

merci pour cet indice