Inegalité de bernoulli



  • bonjour bonjour
    les cours viennent de reprendre et les problemes avec ^^ !
    je bloque sur la derniere question de mon exercice : c'est un exercice sur la recurrence mais en soi ce n'est pas là le probleme :

    On considere dans le plan muni d'un repere la courbe Cn : y=(1+x)ny=(1+x)^n et Dn : y=1+nx
    1.quelles sont les courbes C1 et D1?
    2.determiner la position relative sur R+ des courbes C2 et D2.
    3.faire de meme pour C3 et D3.

    1. comparer graphiquement C4 et D4, C5 et D5 pour x≥0
      5.demontrer par recurrence que, pour tout n≥0 (1+x)n(1+x)^n≥1+nx pour x reel positif

    donc sur cette derniere question je montre que la propriete est vraie pour n=0 puis je veux montrer le caractere hereditaire en supposant que l'on sache que pour un entier k≥0 (1+x)k(1+x)^k≥1+kx
    et je veux montrer que pour k+1 c'est vrai mais j'arrive à (1+x)k+1(1+x)^{k+1}≥1+(k+1)x et là je coince, je ne sais pas developper (1+x)k+1(1+x)^{k+1} sinon j'aurais fait la difference et la je me demandais si je pouvais dire que si on developpe on a un polynome de degré k+1 et ensuite faire le rapport des deux expressions et comparer a 1 mais je n'arrive pas a le mettre en forme 😕
    si vous avez une autre idee ou que vous sachiez comment mettre la mienne sur pied ...

    j'espere que ca ne va pas trop vous embeter ^^
    mais en tout cas deja merci beaucoup de vous embeter pour moi 😜

    je continue de chercher de mon coté si je trouve je vous le dis (mais franchement j'y crois plus trop T_T*)



  • ...et avec (1+x)k+1(1+x)^{k+1} = (1+x)
    (1+x)^k$, pour appliquer l'HR ?



  • ca veut dire quoi HR?


  • Modérateurs

    Salut.

    L'hypothèse de récurrence à vue de nez. 😉

    @+



  • merci, je vais chercher par la alors ^^



  • je crois que grace a ce petit truc j'ai reussi (je vais rediger et je vous dis si oui ou non j'ai bien reussi)

    en tout cas un grand grand merci



  • je crois que c'est ca :

    (1+x)k(1+x)^k≥1+kx
    (1+x)(1+x)k(1+x)(1+x)^k≥(1+kx)(1+x)
    (1+x)k+1(1+x)^{k+1}≥1+(k+1)x+kx²

    or k≥0 et x²≥0 donc
    1+(k+1)x+kx²≥1+(k+1)x
    d'où (1+x)k+1(1+x)^{k+1}≥1+(k+1)x

    apres on conclut par : la propriété etant vraie pour n=0 elle est vrai pour tout n≥0
    ?



  • en tout cas si c'est ca vraiment merci beaucoup beaucoup beaucoup, vraiment



  • ça marche !



  • merci merci beaucoup !!!!!


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