Propriété limite-asymptote



  • Bonjour à tous,

    Je fais en ce moment un dm de maths mais j'ai un petit problème.

    On me demande dans un exercice de trouver 3 réels a,b,c tels que f(x)= ax + b + c/(1-2x). C'est facile mais après on me demande de prouver que la courbe de la fonction admet une asymptote oblique.
    L'année dernière, les exercices étaient du type: "démontrez que la droite d'équation y= 3x+4 est une asymptote oblique" et j'avais qu'à appliquer la formule. Mais là, je sais que ax+b est l'asymptote mais je ne sais pas comment le rédiger. Mais dans cet exercice, il ne précise pas l'équation dans la question mais il y a la réponse dans la précédente et ça me frustre de savoir la réponse sans savoir rédiger comme il faut.

    C'est pour ça que j'ai trouvé une espèce de propriété mais je ne pense pas qu'elle existe: "si f(x)=ax + b + g(x) avec la limite de g(x) en l'infini qui vaut 0, alors la droite d'équation y=ax+b est une asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f"
    Elle marche mais la vrai propriété parlait plutôt de f(x)-(ax+b) donc je ne sais pas.

    Je vous demande votre aide pour m'aider à rédiger (pour prouver qu'il y a une asymptote) si ma "prop" est fausse.

    Merci d'avance,
    Bonne soirée.


  • Modérateurs

    Salut.

    Les deux propriétés sont équivalentes :

    f(x) = (ax+b) + c/(1-2x) ⇔ f(x) - (ax+b) = c/(1-2x)

    Donc si x→c/(1-2x) tend vers 0 en l'infini, l'égalité de gauche nous dit que f et x→ax+b sont confondues vu que leurs limites seraient égales, d'où c'est bien une asymptote.

    L'égalité de droite nous dit la même chose sous une autre forme : la différence des limites est nulle, donc sont égales, etc.

    Conclusion, pour prouver que x→ax+b est asymptote oblique en l'infini il suffit de prouver que leurs limites en l'infini sont égales, ce qui est fait automatiquement si la limite de g est nulle.

    Encore une autre façon de voir cela : si la distance entre les deux courbes s'annule, alors elles sont asymptotes. Donc démontrer qu'en l'infini la distance |f(x)-(ax+b)| est nulle résout le problème. Or f(x)-(ax+b) = c/(1-2x), donc il suffit de montrer que la limite de |c/(1-2x)| en l'infini est nulle. 😄

    @+



  • Merci de ta réponse.

    Je dois donc faire:

    f(x) = ax + b + c/(1-2x) <=> f(x) - (ax + b) = c/(1-2x)
    or lim c/(1-2x) = 0 (quand x tend vers l'infini) donc lim f(x) - (ax + b) = 0 et donc la droite d'équation ax+b est une asymptote oblique à la courbe de f

    Non?


  • Modérateurs

    Salut.

    Oui c'est parfait. 😄

    @+


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