troisieme degrés



  • bonjour,
    voilà j'aurais voulu savoir comment on passe de la forme ax^3+bx²+cx+d
    à un polynome de type x^3+qx+p

    est ce qu'il y a une autre discriminant comme dans le second degrés?
    si oui essayais de me donner des indices pour que je le trouve!
    doit t'on discuter par rapport à un cas(où dans le second degrés delat est positif ou négatif etc)

    merci d'avance



  • Salut. Il faut faire un changement d'inconnue, en introduisant un paramètre u.
    Développe a(x + u)^3 et choisis la valeur de u pour que le terme bx^2 disparaisse : c'est ce qui s'appelle "réduction de Tchirnhaus", je crois. Retrouve-ça tout seul.
    Sinon, oui : il y a des choses semblables aux formules quadratiques ; ce sont les formules de Cardan (ou de Scipio del Ferro, de Tartaglia... il y a eu une polémique au XVe siècle).
    L'idée de base est d'écrire que
    (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)
    et de poser x = a+b dans la forme réduite
    x^3 + px + q = 0. Puis de manipuler !
    Tu risques cependant d'être vite bloqué à ce sujet au niveau 1re S.



  • ok je vais voir avec ce plus est ce que je dois tomber sur une pseudo forme canonique ou pas?
    pourquoi je risque d'etre bloqué on m'as dit que ça faisait dans certains cas intervenir les nombres complexes c'est ça?
    merci



  • Oui, des complexes... sous la forme sqrtsqrt(-121), par exemple.
    En fait, il faut former un système avec somme et produit de racines, pour obtenir ensuite une équation du second degré en rapport avec ta cubique.
    C'est un peu du baratin ce que je te raconte-là, sans faire de calculs.
    La formule de Cardan, tu verras sans doute sur Google, elle fait intervenir deux racines cubiques et des racines carrées à l'intérieur de celles-ci. Bon, c'est pour faire de l'algèbre. Les racines évidentes sont à rechercher en priorité ici. Sinon, la résolution approchée est souvent plus appropriée.



  • non je pense avoir un peu compris je m'y mets!
    sinon pour les complexes on j'ai appris à resoudre les trinome du second degrés quand delat est negatif j'espere que ça m'aidera



  • j'ai trouvais une methode en remplacant x par u+v developpez on tombe sur quelque chose et ensuite c'est suivant le signe de 27q²+4p^3 je crois
    j'essaye de m'attaquer au solution et ça n'as pas l'air d'etre une mince affaire
    merci pour votre aide



  • Pour te montrer à quel point la formule de Cardan n'est pas maniable...

    pour l'équation
    x^3 + 15x - 2 =0
    elle fournit à la main une racine sous la jolie (?) forme
    x = sqrt[3]sqrt[3](1-3sqrtsqrt14) + sqrt[3]sqrt[3](1+3sqrtsqrt14)
    soit environ 0,13317586785(8) - la Ti 89 sort aussi cette valeur.

    et en effet, ce n'est pas une mince affaire, même si les idées pour construire la formule sont assez simples.


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