Etude complète d'une fonction rationnelle

[marionv]

Bonjour, j'ai un DM à rendre, il y a un exercice ou je bloque, j'ai réussi quelques questions, mais je n'en suis pas sur du tout, et d'autres ou je n'y arrive pas, pouvez-vous m'aider, merci.

Voici l'énoncé :

Soit f la fonction définie par f(x)=(x²-1)/x²

1. A l'aide de la calculatrice programmer la fonction puis construire point par point la courbe (C) representative de f dans un repere orthonormé.

2. Quelle particularité semble presenter (C)? Quelle propriété doit posséder f pour qu'il en soit vraiment ainsi ?

3. Déterminer le signe de f(x) en fonction de x par le calcul.

4. Justifier que pour tout x différent de 0 on a f(x)< 1.

5. La fonction f admet t-elle un maximum ?

Mes réponses :

2. L'axe des ordonnés est un axe de symétrie de (C).

3. J'ai fait un tableau de signe qui m'a permis d'avoir :

]-infini; 0[ ===> +
]0;1] ===> -
[1;+infini[ ===> +

4)f(x)-(-1)= (x²-1/x²)+1 = (x²-1/x²)+ x²/x² = (2x²-1)/x²

Pour cette question je suis bloqué a cet endroit, parce qu'aprés j'ai essayé de faire un tableau de signe et ensuite de faire :
f(x)-(-1)<0 ===> sur ]-infini;0[
f(x)<-1
Mais ca ne marche pas, puisqu'il faut trouver f(x)<1

5)Je ne sais pas quel calcul faire pour trouver.

Merci de votre aide

[Zorro]

Bonjour,

Oui la courbe semble bien posséder l'axe des ordonnés. Donc f devrait être une fonction paire ? impaire ?
A démontrer

3. un étude du signe à l'aide d'un tableau de signe en factorisant x²-1 devrait te montrer tes erreurs

4. une étude du signe de f(x) - 1 après avoir réduit au même dénominateur me semble une bonne idée.

5. Certes on sait que f(x) < 1 mais f(x) peut-il valoir la valeur 1 ?