nombres complexes: factoriser un polynome

bonjour à tous,
besoin d'aide!!! je panique...ça commence...
sujet:
Le polynome P est défini sur C par:
P( z) = z^3 - 4z^2 + z - 4
a) Factorisez P (z) en un produit de trois polynomes du 1er degré à coéfficients complexes
b) résoudre alors dans C l'équation:
(z / z+1)^3 - 4(z / z+1)^2 + (z / z+1) - 4 =0

j'ai essayé de remplacer z par x+iy; je n'obtiens pas grand chose. en fait je ne sais pas ce que je dois chercher.
merci d'avance

il existe une racine evisente dans C qui est i

si bien que p(z)=(z-i)(z²+(-4+i)z-4i)

il faut à present trouver une racine evidente pour z²+(-4+i)z-4i

alors -i est racine evidente de z²+(-4+i)z-4i

donc pareil ;une division euclidienne de z²+(-4+i)z-4i par (z-(-i)) premettra d'esprimer p(z) sous forme de trois polynome du premier degré.

essaies de la faire et n'hesites pas à demander si tu coinces

je te laisse la réponse finale du a) pour que tu puisse te controler

p(z)=(z-i)(z+i)(z-4)

pour moi, c'est pas "évident" que i soit une racine vu qu'il ne peut pas être un chiffre, ça ne peut pas être égal à 0. comment vois-tu cela?

tu est dans le corps des complexes , alors z peut ne pourra etre que de la forme a+ib

je vois en plus que tu te melange les pinceaux serieusment avec les complexes ! i n'est pas un chiffre mais un nombre complexe

et pour resoudre la dernière équation n'oublie pas de faire un chgt de variable en posant z/(z+1)=u

ce qui te ramenera à u - 4u² + u - 4 =0 u appartenant à Z

et comme tu as le devellopement en trois polynomes du 1 ier degré
alors tu peut simplifier p(u) et trouver les solutions rapidment
et ensuite revenir au chgt de variable complexe pour résoudre cette dernière équation.

désolé de t'ennuyer encore mais je ne comprend pas comment on sait que c'est i la racine évidente comment on le trouve et comment on le prouve merci pour le reste et merci d'avance pour la suite

Bonjour zmounie.
J'interviens parce que je devine ton problème.
Oublie temporaitrement les nombres complexes.
Le polynôme que tu affrontes est
P(x) = x^3 - 4x^2 + x - 4.
Une racine évidente (entière) est à chercher parmi les diviseurs entiers du terme constant 4.
(c'est la 10e fois que je l'écris au moins !)
Les possibilités à tester sont 1, 2 ou 4, ainsi que -1, -2 ou -4.
Tu vérifies en calculant que P(4) = 0.
Donc tu peux factoriser ton polynôme par (x - 4).
Il s'écrit donc
P(x) = (x - 4) (x^2 + px + q).
A toi d'identifier les coefficients p et q.
Bon allez : P(z) = (z - 4)(z^2 + 1).
(peu importe la variable, x ou z)
Puis il faudra factoriser ce polynôme.
Les racines en sont évidemment i et -i.
Tu peux aussi voir que i est une racine dans le corps de nombres complexes, comme te le disait flight.
En effet, tu peux aussi calculer P(i) = i^3 - 4i^2 + i - 4 = ... = 0.
Tu voiss aussi que (-i) est la dernière racine.
A +

Super! merci!
J'ai enfin compris! En fait, je me mélangeais bien les pinceaux!
excuse-moi si tu dois répéter les choses, mais je suis toute neuve sur ce forum...
D'ailleurs, j'aimerai bien savoir:
1°) comment je fais pour retrouver " ma discussion" quand je reviens sur le forum.(j'ai un peu galéré et suis allée sur les derniers messages que j'ai tous lus pour trouver le mien...)
2°)Lorsque tout est fini( et bien fini), dois-je cliquer sur " se désinscrire de la discussion" ?
encore merci booooocoup.

non en touche à rien et pour savoir tu retiens le sujet de ton exercice!
voilà