nombres complexes: factoriser un polynome



  • bonjour à tous,
    besoin d'aide!!! je panique...ça commence...
    sujet:
    Le polynome P est défini sur C par:
    P( z) = z^3 - 4z^2 + z - 4
    a) Factorisez P (z) en un produit de trois polynomes du 1er degré à coéfficients complexes
    b) résoudre alors dans C l'équation:
    (z / z+1)^3 - 4(z / z+1)^2 + (z / z+1) - 4 =0

    j'ai essayé de remplacer z par x+iy; je n'obtiens pas grand chose. en fait je ne sais pas ce que je dois chercher.
    merci d'avance



  • il existe une racine evisente dans C qui est i

    si bien que p(z)=(z-i)(z²+(-4+i)z-4i)

    il faut à present trouver une racine evidente pour z²+(-4+i)z-4i

    alors -i est racine evidente de z²+(-4+i)z-4i

    donc pareil ;une division euclidienne de z²+(-4+i)z-4i par (z-(-i)) premettra d'esprimer p(z) sous forme de trois polynome du premier degré.

    essaies de la faire et n'hesites pas à demander si tu coinces



  • je te laisse la réponse finale du a) pour que tu puisse te controler

    p(z)=(z-i)(z+i)(z-4)



  • pour moi, c'est pas "évident" que i soit une racine vu qu'il ne peut pas être un chiffre, ça ne peut pas être égal à 0. comment vois-tu cela?



  • tu est dans le corps des complexes , alors z peut ne pourra etre que de la forme a+ib



  • je vois en plus que tu te melange les pinceaux serieusment avec les complexes ! i n'est pas un chiffre mais un nombre complexe



  • et pour resoudre la dernière équation n'oublie pas de faire un chgt de variable en posant z/(z+1)=u

    ce qui te ramenera à u - 4u² + u - 4 =0 u appartenant à Z

    et comme tu as le devellopement en trois polynomes du 1 ier degré
    alors tu peut simplifier p(u) et trouver les solutions rapidment
    et ensuite revenir au chgt de variable complexe pour résoudre cette dernière équation.



  • désolé de t'ennuyer encore mais je ne comprend pas comment on sait que c'est i la racine évidente comment on le trouve et comment on le prouve merci pour le reste et merci d'avance pour la suite



  • Bonjour zmounie.
    J'interviens parce que je devine ton problème.
    Oublie temporaitrement les nombres complexes.
    Le polynôme que tu affrontes est
    P(x) = x^3 - 4x^2 + x - 4.
    Une racine évidente (entière) est à chercher parmi les diviseurs entiers du terme constant 4.
    (c'est la 10e fois que je l'écris au moins !)
    Les possibilités à tester sont 1, 2 ou 4, ainsi que -1, -2 ou -4.
    Tu vérifies en calculant que P(4) = 0.
    Donc tu peux factoriser ton polynôme par (x - 4).
    Il s'écrit donc
    P(x) = (x - 4) (x^2 + px + q).
    A toi d'identifier les coefficients p et q.
    Bon allez : P(z) = (z - 4)(z^2 + 1).
    (peu importe la variable, x ou z)
    Puis il faudra factoriser ce polynôme.
    Les racines en sont évidemment i et -i.
    Tu peux aussi voir que i est une racine dans le corps de nombres complexes, comme te le disait flight.
    En effet, tu peux aussi calculer P(i) = i^3 - 4i^2 + i - 4 = ... = 0.
    Tu voiss aussi que (-i) est la dernière racine.
    A +



  • Super! merci!
    J'ai enfin compris! En fait, je me mélangeais bien les pinceaux!
    excuse-moi si tu dois répéter les choses, mais je suis toute neuve sur ce forum...
    D'ailleurs, j'aimerai bien savoir:
    1°) comment je fais pour retrouver " ma discussion" quand je reviens sur le forum.(j'ai un peu galéré et suis allée sur les derniers messages que j'ai tous lus pour trouver le mien...)
    2°)Lorsque tout est fini( et bien fini), dois-je cliquer sur " se désinscrire de la discussion" ?
    encore merci booooocoup.



  • non en touche à rien et pour savoir tu retiens le sujet de ton exercice!
    voilà


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