Déterminer les fonctions qui répondent à des conditions

[chtirico]

Voici un long problème sur les fonctions. Je vous ai mis tout le sujet pour que vous ayez toutes les données. J'ai réussi à presque tout faire.
Dans la partie 1, il me reste la question 5. Je n'arrive pas à montrer que f(1) = 1
Dans la partie 2, il me reste la question 4
Dans la partie 3, il me reste la 3b et la 3c

Pourriez vous m'aidez s'il vous plait. Merci d'avance

Partie 1

on se propose de chercher les fonctions f de N ds N telles que:
pour tout x,y ds N, f(x+y) <ou= f(x) + f(y)
pour tout x,y ds N, f(xy) >ou= f(x) f(y)

1. Quelles sont les fonctions constantes qui conviennent?

2. Parmi les fonction suivantes, quelles sont celles qui conviennent :
   a. f = id(N)
   b. f(x) = x²
   c. f(x) = 0 si 3|x et 1 sinon

On note f une fonction qui convient et ne s'annule pas sur N/{0}
3. Montrer que f(0) = 0 ou que f(0) = 1. Que dire de f(1)?

4.On suppose que f(0)=1. Montrer que f est constante

5.On suppose désormais que f n'est pas constante. Montrer que f(0)=0 et f(1)=1 puis que pour tout n ds N, f(n) <= n

6. Montrer que pour tout p ds N/{0} et tout n ds N, f(p^n) >ou= f(p)^n

Partie 2
On est ds le cas particulier où f est croissante. On note f une fonction croissante, non constante, qui convient et telle que pour tout x,y ds N, f(xy) = f(x) f(y)

1. On note p un entier naturel non nul
   1a. Montrer que pour tout n non nul, il existe un unique naturel k tel que 2^k <ou= p^n <ou= 2^(k+1)
   Quand on me pose ce genre de question, est ce que je dois supposer qu'il en existe en deuxième et montrer que c'est impossible? Faut-il exprimer k en fonction de n ?

1b. En déduire la limite en +inf de k/n

1c. Montrer que k ln(f(2)) <ou= n ln(f(p))

2. En déduire que pour tout p, f(p)=p^z avec z= ln(f(2)) / ln(2)

3. En déduire que nécessairement z=0 ou z=1

4. Quelles sont les fonctions croissantes qui conviennent ?

Partie3 :
On suppose qu'il existe un entier naturel n non nul tel que f(n) = 0 et on note p le plus petit entier non nul tel que f(p)=0

1. Monter que p est premier

2. Justifier que pour tout naturel n non nul que si p|n alors f(n) = 0

3. On note n un entier naturel
   3a. Montrer en considérant la division euclidienne de n par p que f ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs

3b. Montrer que f(n) = 0 ou f(n) = 1

3c. Déterminer f(1), f(2), ..., f(p-1). En déduire f(n) en fonction de n pour tout n non nul. Que dire de f(0)?

[kanial]

Salut chtirico,

Dis-nous ce que tu as trouvé, cela nous évitera de perdre du temps...
Dans la phrase introductive de la partie 1 tu as du oublié de taper quelque chose après le f(x+y)...