Prouver qu'une expression est un multiple de 7



  • Bonjour à tous/toutes 🙂

    Un exercice me demande de prouver que 3^(2p) - 2^(p - 3) est multiple de 7 pour tout p de N et p >= 3. En utilisant la récurence.

    1. Initialisation : J'ai donc prouvé que c'était vrai pour p = 3 en faisant ceci :

    On a avec p = 3 :
    3^(2p) - 2^(p - 3) = 728 = 7 * 104
    donc propriété vraie pour p = 3

    1. Hérédité : Je cherche donc à prouver que pour p + 1, 3^(2p+1) - 2^(p -2) est un multiple de 7 :

    On a p + 1, donc on utilise 3^(2p+1) - 2^(p-2)
    Donc 3^(2p+1) - 2^(p -2) = 7 * [ 3^(2p+1) - 2^(p -2) ] / 7

    Et là je coince !
    Si je réussi à prouver que [ 3^(2p+1) - 2^(p -2) ] / 7 est un entier, j'ai réussi. Mais je ne vois pas du tout comment faire !
    Auriez-vous une idée ?
    Il y peut-être une méthode plus simple ?

    Merci !



  • Bonjour,

    je détaillerais 3^(2p) - 2^(p - 3) = 728 = 7 * 104

    3233^{2*3} - 2332^{3-3} = ....
    -..... = 728 = 7 * 104

    L'hérédité est mal posée.

    Hérédité : on suppose qu'il existe un rang k pour lequel 32k3^{2k} - 2k32^{k-3} est multiple de 7
    donc il existe un entier m tel que 32k3^{2k} - 2k32^{k-3} = 7m

    Qu'en est-il pour le rang k+1 ?



  • Coucou,

    En effet j'ai mal détaillé la façon dont j'ai posé l'hérédité, mais sur le papier c'était comme ça.
    Le soucis, c'est que justement je tente de prouver que la propriété est toujours bonne pour k+1.
    C'est à dire que j'essaye de prouver que 3^(2k+2) - 2^(k-2) = 7m avec m est un entier naturel >= 3.

    Et là, pas moyen de trouver une solution, malgré des tas de lignes de brouillon depuis 2h ... :frowning2:



  • salut

    tu supposes acquis par hypothèse de récurrence le fait que 32k=7m+2k33^{2k} = 7m + 2^{k-3} ou encore que 2k3=7m32k2^{k-3}= 7m -3^{2k}

    alors au rang suivant :
    $\begin{align*} 3^{2k+2} - 2^{k-2} &= 9\times3^{2k} - 2\times2^{k-3} \ \ &= 63m + 9\times2^{k-3} - 2\times2^{k-3} \end{align*}$

    est-ce que tu sauras finir ?



  • J'ai pigé le truc, merci beaucoup. Ca parait vraiment simple une fois qu'on a la réponse ....

    Merci encore. 😉



  • ah je n'ai qd mm pas donné toute la réponse, il fallait voir où se situait l'intérêt de l'opération. un bon point pour toi !



  • Ma prof étant très stricte sur la façon d'énoncer, est-ce que j'aurais bon en écrivant comme ceci :

    Hérédité :
    On suppose qu'il existe un rang k pour lequel 3^(2k) - 2^(k-3) est multiple de 7.
    Donc il existe un entier m tel que 3^(2k) - 2^(k-3) = 7m
    Pour le rang k+1, on a alors :
    2^(2k+2) - 2^(k-2) = 93^(2k) - 2^(k-2)
    = 7
    3^(2k) + 2*(3^(2k) -2^(k-3))
    Or 2*(3^(2k) -2^(k-3)) = 2*7m

    Donc au rang k+1, la propriété est vraie.
    La propriété étant initialisée au rang k et étant héréditaire, on en déduit qu'elle est vraie pour tout k de N et k >= 3.



  • lol
    Ma prof étant très stricte sur la façon d'énoncer
    si elle est jury de bac ça va lui faire tout drôle !

    pour le reste, je dirais que ce qui me gêne, c'est déjà qu'en TS tu n'écris pas clairement quelle est la chose que tu te proposes de démontrer et ensuite que tu ne montres pas clairement ce que tu as démontré (d'ailleurs il ne saute pas aux yeux que tu aies démontré qqch dans tes calculs).

    en fait je vois que tu as oublié des choses dans ta première ligne de calculs. c'est ce qui complique la lecture. reprends tes calculs.



  • Je reprends le calcul, on a :

    3^(2k+2) - 2^(k-2)
    = 9 * 3^(2k) - 2^(k-2)
    = (7 + 2) * 3^(2k) - 2^(k-2)
    = 7 * 3^(2k) + 2 * 3^(2k) - 2^(k-2)
    = 7 * 3^(2k) + 2*(3^(2k) -2^(k-3))

    Par ailleurs, j'ai une autre question si ça ne t'ennuie pas.
    Dans la suite de mon exercice, j'ai ces 2 questions très semblables à ce dont tu m'as aidé précédemment :

    a) Démontrer que les propriétés "3^(4n) -1 est multiple de 5" et 3^(4n) +1 est multiple de 5" sont héréditaires.
    b) Les deux propriétés précédentes sont-elles vraies pour tout n de N ?

    Je trouve ça bizarre, car par le calcul je trouve que les 2 ne sont pas héréditaires ! J'ai fais (sans détailler) comme ceci :

    Pour p+1 on a donc :
    pour la propriété 1 -> 3^(4(p+1)) - 1 = 3^(4p+4) - 1 = 80 + 3^(4p)
    pour la propriété 2 -> 3^(4(p+1)) + 1 = 3^(4p+4) + 1 = 82 + 3^(4p)

    Or ni 80 + 3^(4p) ni 82 + 3^(4p) ne sont multiples de 5 !!

    Pourtant la question demande de démontrer qu'ils sont multiples de 5 !
    Je suis un peu perdu, comment ferais-tu ?



  • oui c'est une autre façon de mettre en oeuvre l'HR, je veux dire sans se servir explicitement du m.

    mais note qu'elle attendra de toi une rédaction très claire sur :

    • ton HR (au rang n)
    • ce que tu veux prouver (au rang n+1)
    • le moment où l'HR joue de façon déterminante.


  • super : un des pièges de la récurrence

    Pigo
    "3^(4n) -1 est multiple de 5" est héréditaire

    suppose que pour le rang n tu aies l'existence d'un certain entier k tel que 34n1=5k3^{4n} -1 = 5k

    tu te proposes de démontrer que ceci est encore vrai au rang suivant, à savoir l'existence d'un entier h tel que 34n+41=5h3^{4n+4} -1 = 5h

    voici une façon de faire

    34n+41=81×34n1=81×(5k1)1=5h3^{4n+4} -1 = 81\times3^{4n} - 1 = 81\times(5k - 1) - 1 = 5h

    à toi d'exhiber le bon h et de repérer où je me sers de l'HR

    le problème donc c'est qu'on a bien une propriété héréditaire, mais qu'on aura peut-être du mal à la fonder : n = 0 non, n = 1 ah non tiens ça marche - c'est sans doute ce qui clochera avec la 2e propriété.



  • Je vais essayer d'y revenir demain matin, à tête reposée, parceque 5h de maths d'affilé, ça calme un peu ! 😛

    En tout cas merci pour votre aide à tous 😄



  • Bonjour

    Ok pour cet exo, j'ai compris ! ^^

    Une autre question me demande ceci :

    Soit C = (3n - 11)(3n - 10)
    Soit A = 1² + 2² ... + n² = [n(n+1)(2n+1)] / 6
    a) Comparer A et C pour n = 11 et n = 12.
    b) Pour tout entier n >= 11, a-t-on A = C ?

    J'ai donc remarqué en a) que A = C pour n = 11 et n = 12.

    Cependant à la question b) je ne sais pas comment montrer que A ne vaut pas forcément C pour tout n >= 11.

    Auriez vous une idée ?
    Merci !



  • re.

    abruptement et sans aucune imagination je dirais en calculant pour n=13

    ou alors étudie la fonction x → (3x - 11)(3x - 10) - [x(x+1)(2x+1)]/6

    que sais-je, encore...


 

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