exercices de specialité

bonjour j'ai encore un probleme, l'arithmetique c'est pas evident ^^
on me demande de prouver que ad-bc=1⇒(a+c)/(b+d) irreductible

et vraiment la je suis coincé je ne trouve vraiment rien

merci d'avance

salut

On va montrer que $ad−bc=1\small ad - bc = 1$ implique que $a+c\small a+c$ et $b+d\small b+d$ sont premiers entre eux.

On a
$1 = a d - b c = a d + c d - c d - b c = (a + c) d - c (b + d)$
donc
$(a + c) d - c (b + d) = 1$

c'est donc une relation de Bézout entre $a+c\small a+c$ et $b+d\small b+d$ , ils sont donc premiers entre eux.

ha merci beaucoup

ca ressemble un peu au equation diophantienne non? j'etais en train de lire votre cours la dessus mais je viens je juste de le commencer neanmoins il parait au premier abord tres clair et tres structuré donc je vais pas me priver de le finir ^^

mais en fait comme je n'ai pas fini encore de le lire (et que le devoir est pour demain )
je vais rajouter un question : comment je deduis de la nouvelle expression d(a+c)-c(b+d)=1 que a+c et b+d sont premier entre eux vu que je ne connais pas cette relation de Bezout que vous mentionnez?

en fait non oubliez ce que j'ai dit juste avant je crois que j'ai compris
enfin je reflechirais demain je vais dormir bonne nuit tout le monde

non ce n'est pas à proprement parler une équation diophantienne.

c'est la caractérisation du fait que deux entiers M et N sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux coefficients entiers relatifs u et v tels que

$u m + v n = 1$

(où le signe "moins" peut remplacer le signe "plus").
C'est le théorème de Bézout, qui provient du fait que d est un diviseur commun de M et N équivaut dans ce cas à d divise 1 !