Déterminer lieux géométriques de points dans C

Bonjour à tous

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O;vectU , vectV) direct. Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe -i.

Soit f la fonction définie sur C{i} par f(z)=(1-iz) / (z-i)

Vérifier que pour tout z de C{i}, f(z)=-i + 2/(z-i)

2)a- Démontrer que -i n'a pas d'antécédent par f
b-Déterminer les antécédents de 0 et de i par f

3)A tout point M différent de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' tel que z' = f(z)

a-Démontrer que pour tout point M différent de A, le produit des longueurs AM et BM' est égal à 2.

b-Démontrer que lorsque M décrit le cercle C de centre A et de rayon 4 M' se déplace sur un cercle C' dont on précisera le centre et le rayon

4)a-Déterminer l'ensemble C des points M(z) tels que z'-i soit un nombre réel non nul

b-Démontrer que lorsque M d'écrit C, M' se déplace sur une droite que l'on précisera.

c-Lorsque M décrit C, M' décrit-il toute la droite

5)Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que f(z) soit un imaginaire pur non nul.

Réponses:

f(z)= -i + 2/(z-i)
f(z)= -i(z-i) +2/(z-i)
f(z)= (1-iz) / (z-i)

2)a) S'il existe une solution à f(z) = -i, alors cette solution satisfait à :
-i + 2/(z-i) = -i
2/(z-i) = 0
Or il n'existe aucune valeur de z telle que 1/(z-i) = 0
Donc -i n'a pas d'antécédent.

b) f(z)=0
z = -i = 1/i

f(z)=i
z=0

Mais pour la suite je ne trouve pas pouvez vous m'aidez svp ? merci