Démontrer qu'une fonction f croissante et non majorée a pour limite +∞ en +∞

Bonjour, j'ai un DM à rendre pour demain et il ne me reste plus qu'une seule question.
Voilà l'énoncé:

**On rappelle les trois définitions suivantes:

D1: Une fonction f est croissante sur un intervalle I de $mathbb{R}$ lorsque, pour tout réel a et tout réel b appartenant à I avec a ≤ b, f(a) ≤ f(b)

D2: Une fonction f est majorée par un réel M sur un intervalle I de $mathbb{R}$ lorsque pour tout réel x de I, f(x) ≤ M.

D3: Dire que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ signifie que pour tout intervalle ]M ; +∞[, où M est un réel, contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand**

**Question:

Démontrer qu'une fonction f croissante et non majorée sur $mathbb{R}$ a pour limite +∞ en +∞**

Voilà, ça fait quelques heures que je cogite là dessus mais aucune solution

Merci beaucoup à ceux qui voudront bien m'aider

l'idée :

non majorée, elle prend des valeurs aussi grandes qu'on veut, donc elle dépasse un M fixé.

mais puisqu'elle est croissante, toutes les valeurs qu'elle prend deviendront encore plus grandes, en tout cas plus grandes que ce M fixé.

Merci pour ta réponse
En gros, pour une démonstration à peu près potable:

Une fonction f non majorée prend des valeurs f(x) aussi grandes que l'on veut.
Soit M un nombre réel, I un intervalle de $mathbb{R}$ et M ∈ I.
Si la fonction f n'est pas majorée, alors f(x) ≥ M pour tout réel x de I suffisamment grand.
Si la fonction f est non majorée et croissante sur I, alors elle prend des valeurs f(x) aussi grandes que l'on veut pour des valeurs de x suffisamment grandes

Donc lim f = +∞
x→+∞

Ou alors, autre démonstration:

Soit M un nombre réel.
Si la fonction f n'est pas majorée, alors il existe au moins un réel x tel que f(x) > M.
Si la fonction f est croissante, alors toutes les valeurs de x telles que f(x) > M sont contenues dans l'intervalle ]M ; + ∞[.
Ainsi la fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞.

Laquelle vous parait la mieux ?

Citation
Si la fonction f n'est pas majorée, alors f(x) ≥ M pour tout réel x de I suffisamment grand.

je dirais plutôt : puisque la fonction f n'est pas majorée, alors f(x0) ≥ M pour
au moinsun x0 de I suffisamment grand.

c'est alors que la croissance intervient, pour permettre le passage de cet x0 à "tout x suffisamment grand".

"x0": Qu'est ce que c'est ?

Sinon, cette démonstration me parait meilleure:

Soit M un nombre réel.
Si la fonction f n'est pas majorée, alors il existe au moins un réel x tel que f(x) > M.
Si la fonction f est croissante, alors toutes les valeurs de x telles que f(x) > M sont contenues dans l'intervalle ]M ; + ∞[.
Ainsi la fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞.

Qu'en pensez vous ?

il y a hélàs deux types de x qui jouent des rôles différents dans ton raisonnement. c'est pour cela que j'avais introduit un x-indice-zéro x0.

je trouve que tu vas vite en besogne sur le coup de la croissance, justement parce que tu as ce qu'on appelle un conflit de notations.

Zauctore
il y a hélàs deux types de x qui jouent des rôles différents dans ton raisonnement. c'est pour cela que j'avais introduit un x-indice-zéro x0.
A ok. Le problème c'est que je doute que ma prof de maths accepte ce fameux "x-indice-zéro x0" étant donné qu'on n'est pas sensé l'avoir appris

Zauctore

je trouve que tu vas vite en besogne sur le coup de la croissance, justement parce que tu as ce qu'on appelle un conflit de notations.
Donc selon toi, dans ma deuxième démonstration, le truc qui pose problème c'est:
"Si la fonction f est croissante, alors toutes les valeurs de x telles que f(x) > M sont contenues dans l'intervalle ]M ; + ∞[."
Aurais-tu quelque chose à proposer ?

En tout cas, merci pour tes réponses

Alors donne-lui un autre nom si tu ne veux pas de notation indicielle, comme x' par exemple (ce n'est pas une dérivée lol)

je dirais que puisque pour un certain x' on a f(x') ≥ M, alors, puisque f est croissante, pour tout x ≥ x', on a aussi f(x) ≥ M.

il y a une nuance, n'est-ce pas.

ie toutes les valeurs f(x) pour x suffisamment grand (plus grand que x') sont dans [M ; +∞[.

Ok, je prends note.
Merci pour tout !

++