Résoudre des équations trigonométriques

bjr a tous
voila j'ai une exercice mais il y a des question que j'arrive pas
comme la 2eme la 4eme et donc la 5 qui decoule de la 4

Résoudre dans R l'equation cos 3x = cos 4x
exprimer cos 4x et cos 3x en fonctin de cos x
En posnat X = cos x monter que l'équation (E) est équivalente a l'equation (F) 8X^4-4X^3-8X^2+3X+1=0
En deduire des solution de (F)
5.En deduire les egalités:
cos2pi/7cos4pi/7cos6pi/7=1/8
et cos2pi/7+cos4pi/7+cos6pi/7=-1/2

Salut.

Je te conseille de réécrire les calculs sur une feuille. Ce sera plus clair.

2. Exprimer cos(4x) et cos(3x) en fonction de cos(x)

Premièrement, je rappelle quelques formules de trigonométries à connaître par coeur.

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) (1)
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) (2)
cos²(x)+sin²(x)=1 (3)

Commençons:

cos(3x)=cos(x+2x)

J'applique (1):
cos(3x)=cos(x)cos(2x)-sin(x)sin(2x)

cos(3x)=cos(x)(2cos²(x)-1)-sin(x)(2cos(x)sin(x)) => Voir plus bas
cos(3x)=2cos³(x)-cos(x)-2cos(x)sin²(x) => Voir plus bas

J'applique (3):
cos(3x)=2cos³(x)-cos(x)-2cos(x)*(1-cos²(x))

D'où cos(3x)=4cos³(x)-3cos(x)

Je te laisse faire le cos(4x).

Mentions "Voir plus bas":

J'ai appliqué des conséquences des 3 premières formules:

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

Pour a=b:
cos(2a)=cos(a)cos(a)-sin(a)sin(a)
cos(2a)=cos²(a)-sin²(a)

Or, de la formule (3), sin²(a)=1-cos²(a).

Donc cos(2a)=cos²(a)-(1-cos²(a))=2cos²(a)-1

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

Pour a=b:
sin(2a)=sin(a)cos(a)+sin(a)cos(a)
sin(2a)=2sin(a)cos(a)

4. En deduire des solutions de (F) $8 X$ ^4 $- 4 X$ ^3 $8X^2$ +3X+1=0 :

Un indice: maintenant que tu as calculé cos(4x) et cos(3x) en fonction de cos(x), tu vas pouvoir faire le rapprochement entre les solutions de la 1ère question et celles de (F).

@+