résolu

résolu

salut
Citation
Exercice 1
U et V sont deux fonctions monotones et de même sens de variation sur une intervalle I. Démontrer que u+v a le même sens de variation que u et v sur I.
Que peut-on dire si u et v n’ont pas le même sens de variation ? (Justifier)

je vais répondre laconiquement en disant que c'est une question de cours et que ça figure donc dans ... ton cours (ou à défaut ton livre).

Citation
Démontrer que si f et g sont paires alors f+g, landa x f, fg, et fog, sont paires.

il suffit de partir de (f+g)(-x) [ou de k f(-x) ou de (fg)(-x) ou enfin de fog(-x)] pour aboutir à (f+g)(x) en utilisant le fait que f(-x) = f(x) et g(-x) = g(x).

résolu

pour le 1 : suppose par exemple que u et v sont toutes deux croissantes, c'est à dire que par définition

pour tous a, b de I, si a≤b alors u(a)≤u(b) et v(a)≤v(b).
maintenant tu veux savoir si (u+v)(a) est plus petit que (u+v)(b), dès lors que a≤b : il n'y a qu'à utiliser la définition !

résolu

non c'est très bien au contraire : tu démontres ainsi que la somme de deux fonctions paires est encore une fonction paire.

continue !

résolu

Citation
(u+v)(a) ≤ (u+v)(b) car v est croissante

il t'a sans doute manqué une ou deux lignes avant d'écrire ça : ne vas pas trop vite !

résolu

Citation
u(a) ≤ u(b) car u est croissante
u(a) + v(a)≤ u(b) + v(b)
(u+v)(a) ≤ (u+v)(b) car v est croissante
il faut que tu fasses la somme des deux inégalités
u(a) ≤ u(b)
v(a)≤ v(b)
pour pouvoir écrire
(u+v)(a) ≤ (u+v)(b).

Citation
(f+g)(
-x) = f(-x) + g(-x)
= - f(x) - g(x)
= - (f+g)(x)
ça démontre que la somme de deux fonctions impaires est encore une fonction impaire.

résolu

pour l'ex 1 c'est bon
sauf 2) où il n'y a pas de loi générale : à toi de trouver des contre-exemples.

pour l'ex 2, en effet, c'est super facile et il n'y a pas gd chose à expliquer.

résolu

avec la règle des signes, tu sauras conclure pour le produit de deux impaires, qui est donc...

pour la composée, tu supposes les deux impaires ? alors dans ce cas le moins sort encore une fois de f(-g(x)) et donc...

résolu

voilà. ça aurait dû être dans le cours et/ou le livre.

résolu

il n'y a pas de loi générale : prends des exemples pour t'en rendre compte

par u(x) = x et v(x) = -x

ou encore u(x) = 2x et v(x) = -x

ou bien u(x) = x et v(x) = -2x

à chaque fois la somme des deux donne une fonction dont le sens de variation ne dépend pas des variations des fonctions u et v.

résolu

Citation
le sens de variation de u+v ne se déduit pas tjrs de celui de u et v.
si, il s'en déduit lorsque les deux fonctions ont toutes les deux
le même sensde variation ; c'est quand elles ont des sens de variation contraires qu'il n'y a pas moyen de conclure de façon automatique.

résolu

résolu