Démontrer des propriétés autour de la racine de 2

Bonsoir, je voudrais que l'on me corrige cet exercice sur les racines de 2. Je vous mets l'énoncé puis mes réponses :

ENONCE :
√2 est un irrationnel.
Rappelons tout d'abord quelques définitions.
Un entier naturel n est pair s'il existe un entier naturel p tel que n =2p.
Un entier naturel n est impaire s'il existe un entier naturel p tel que n = 2p+1.

Préambule
n désigne un entier naturel.
a/ Démontrer que si n est pair alors n² est pair.
b/ Démontrer que si n est impaire alors n² est impaire.

Démontrons que √2 est un irrationnel. On utilise pour cela un raisonnement par l'absurde : on supose que √2 est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe des entiers p et q tels que √2 = p/q où p/q est une fraction irréductible et nous verrons que cette proposition conduit à une contradiction.

1/ Démontrer que p² est pair.
2/ Déduire du préambule que p est pair.
3/ On pose alors p = 2p' avec p' entier naturel. Démontrer que q² = 2p'². En déduire que q est pair.
4/ Déterminer la contradiction entre l'hypothèse et les questions 2 et 3. En déduire que √2 est irrationnel.

REPONSES :

a/ Si n est un nombre pair, alors n² est pair car n² = nn = (2p)(2p).
b/ Si n est un nombre impaire, alors n² est impaire car n² = nn = (2p+1)(2p+1)

1/2/ En élevant cette expression au carré on obtient 2 = p²/q², par conséquent p² = 2*q²,c'est-à-dire que l'entier p² est un nombre pair. Un carré pair ne peut provenir que d'un entier pair donc p est aussi pair.

3/ p =2p'
donc p² = 4p'² or p² = 2q²
donc 2q² = 4p'² donc q² = 2p'²
donc q est pair donc il existe un nombre entier q' tel que q = 2q'

4/ La fraction p/q = 2p'/2q' n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était √2 est un rationnel. Donc √2 est irrationnel.

Merci d'avance pour votre correction.

Bonjour,

Il me semble que cela reprend les termes de la fiche que j'ai faite et que tu peux trouver dans la page d'accueil : Le nombre √2 est un irrationnel

Bonjour,
Oui je me suis aidé de votre fiche de cours et sur le cours de Maxi cour ou je suis inscris.