Démonstration par récurrence...

Bonjour à tous !

Je fais spécialité math, et je suis un peu perdu au niveau des démonstrations...Notre prof nous a donné des exercices à faire et je voudrais un peu d'aide svp :

Exercice 1 - Utilisation de la récurrence
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n(n+1)(2n+1) est multiple de 6.

b) Démontrer par récurrence quie pour tout entier naturel non nul n,

Exercice 2 - Démonstration par disjonction
a et b désignent des entiers naturels.
(P) désignent la proposition "ab(a^2-b^2) est divisible par 3"

2.1 Cas où a ou b est multiple de 3.
Démontrer que la propriété (P) est vraie.

2.2 Cas où a et b ne sont pas multiples de 3.
2.2.1 Expliquer pourquoi lorsqu'un nombre n'est pas multiple de 3, il peut s'écrire 3k+1 ou 3k-1 avec k € N.

2.2.2 Démontrer que a²-b² est divisible par 3 dans chacun des cas :
a=3k+1 ; b=3k'+1
a=3k+1 ; b=3k'-1
a=3k-1 ; b=3k'+1
a=3k-1 ; b=3k'-1

2.2.3 En déduire que la proposition (P) est vraie.

Ce que j'ai fait :

J'ai réussi à faire le

1)b)
2)2.1)
2)2.2)2.2.2)

1)a) J'ai montré pour n=0 que n(n+1)(2n+1) est multiple de 6 mais je ne sais vraiment pas comment faire pour P(n+1) :
Je sais que (n+1)(n+2)(n+3) est multiple de 6.
Je note P(n) = n(n+1)(2n+1)
Donc P(n+1) = (n+1)(n+2)(2n+3)
Quelqu'un m'a dis qu'il faut étudier la différence P(n+1)-P(n), ce que j'ai fais :
P(n+1)-P(n) = (n+1)(n+2)(2n+3) – [n(n+1)(2n+1)]
= (n²+3n+2)(2n+3) – [(n²+n)(2n+1)]
= (2n3 +3n² + 6n² + 9n + 4n + 6) – [(2n3 + n² + 2n² + n)]
= 2n3 + 9n² + 13n + 6 – (2n3 + 3n² + n)
= 2n3 + 9n² + 13 n + 6 – 2n3 -3n² + n
= 6n² - 12 n + 6
= 6[n² - 6n + 1)

P(n+1)-P(n) € N, et est bien divisible par 6.
La propriété est donc bien héréditaire.
On a donc pour tout n € N, n(n+1)(2n+1) multiple de 6.

Mais en fait, je ne sais pas vraiment pourquoi on a étudié la différence P(n+1)-P(n).

Pour le 1)b) j'ai montré P vraie pour n = 1 et ensuite pour P(n+1).

Pour 2)2.1) j'ai distingué 3 cas:
1er cas : a = 3k ; b = 3k'+1
2è cas : a = 3k+1 ; b=3k'
3è cas : a = 3k ; b=3k'
A chaque fois j'ai pu factoriser par 3 et conclure que c'était divisible par 3.
Mais est ce qu'il faudrait pas ajouter d'autre? :
a=3k ; b=3k'-1 ?
a=3k-1 ; b=3k' ?

Pour la 2)2.2)2.2.1), Expliquer pourquoi lorsqu'un nombre n'est pas multiple de 3, il peut s'écrire 3k+1 ou 3k-1 avec k € N.
Comment dois je l'expliquer?

Pour 2)2.2)2.2.2) J'ai remplacé a et b par les valeurs donner, et à chaque fois j'ai pu ausi factoriser par 3 et conclure que c'était divisible par 3.

Pour la 2)2.2)2.2.3), je dois simplement dire que puisque a²-b² est divisible par 3, donc ab(a²-b²) est aussi divisible par 3. (Mais il n'y a pas de "car"... ?) ?

Merci de m'aider !

Salut.

Exercice 1 - Utilisation de la récurrence

a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n(n+1)(2n+1) est multiple de 6.

Voici une façon de faire.

Ceci est vrai pour n=0.

Supposons ceci vrai pour un certain rang n, c'est-à-dire
6 divise n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n^2 + n.

Montrons que c'est encore vrai au rang n+1 :
on a, en remplaçant n par n+1 dans la quantité étudiée
(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) = (n+1)(n+2)(2n+3) = 2n^3 + 9n^2 + 13n + 6.
Je réécris cela : (2n^3 + 3n^2 + n) + 6n^2 + 12n + 6.
par hypothèse de récurrence, la quantité entre parenthèses est divisible par 6. Les autres termes le sont aussi.
Donc (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) est divisible par 6.

Par récurrence, la propriété
"n(n+1)(2n+1) est multiple de 6"
est vraie pour tout n.

Le fait d'étudier la différence s'appuie sur le fait (évident) que

si b est divisible par 6 et si a-b est divisible par 6, alors a est aussi divisible par 6.

Ici, c'est vrai que la différence montre clairement la divisibilité par 6.

OK j'ai compris pourquoi on a étudié la différence P(n+1)-P(n) !

Au fait j'ai fais une p'tite erreur pour P(n+1)-P(n) :

Pn+1-Pn = (n+1)(n+2)(2n+3) – [n(n+1)(2n+1)]
= (n²+3n+2)(2n+3) – [(n²+n)(2n+1)]
= (2n3 +3n² + 6n² + 9n + 4n + 6) – [(2n3 + n² + 2n² + n)]
= 2n3 + 9n² + 13n + 6 – (2n3 + 3n² + n)
= 2n3 + 9n² + 13 n + 6 – 2n3 - 3n² - n
= 6n² + 12 n + 6
= 6(n² + 2n + 1)
=6(n+1)²

Donc : Pn+1 = Pn + 6(n+1)²
Et je peux ainsi déduire tous les Pn.
On a ; Pn = $P_0$ + 6[1²+2²+3²+…+n²]

Pour 2)2.1) j'ai distingué 3 cas:
1er cas : a = 3k ; b = 3k'+1
2è cas : a = 3k+1 ; b=3k'
3è cas : a = 3k ; b=3k'
A chaque fois j'ai pu factoriser par 3 et conclure que c'était divisible par 3.
Mais est ce qu'il faudrait pas ajouter d'autres cas? :
a=3k ; b=3k'-1 ?
a=3k-1 ; b=3k' ?
OUI ou NON?

Expliquer pourquoi lorsqu'un nombre n'est pas multiple de 3, il peut s'écrire 3k+1 ou 3k-1 avec k € N.
Comment dois je l'expliquer?
Est ce que dire que : "tout nombre multiple de 3 s'écrit 3k avec k € Z, donc, un nombre non multiple de 3 s'écrit forcément 3k+1 ou 3k-1. est suffisant?"

Merci pour vos réponses !

Salut.
Lorsque tu fais une division (entière) de n par 3, quelles sont les possibilités au reste ? seulement 0, ou bien 1 ou 2.
Le premier cas carrespondant à la divisibilité de n par 3.
Le dernier cas s'écrit
n = 3m + 2 = 3m + 3 -1 = 3(m+1) -1 = 3k -1.
Il n'y a donc pas d'autre cas à envisager, pour les non-multiples de 3, que 3k+1 ou bien 3k-1.