Exercices d'approfondissement sur les polynômes

Voici le deuxième exercice de mon Dm :
Dans cette exercice, je pense déja avoir trouver comme il faut faire pour certaines questions :

On considère P(x) = $x^4$ -4x³+11x²-14x+13.
On souhaite montrer que P(x) ne peut pas s'écrire sous la forme (x-a)Q(x) où Q(x) est un polynôme.

Montrer que pour tout x réel, on a l'egalité :
P(x)=(x²-2x+3)²+(x²-2x+3)+1
a. Etudier le signe du trinôme x²+x+1.
b. En déduire que, pour tout réel x, P(x)>0.
Supposons que P(x) se factorise par x-a.
Montrer qu'alors P(a)=0.
4.Conclure

Voila, je pense que la question 2 a il faut utiliser Delta =b²-4ac pour trouver le signe du trinôme.
Pour la question 2 b il faut aussi Delta pour montrer que P(x) >0 mais c'est le pout tout x réel que j'ai pas compris.
Pareil pour la 3. Pour montrer qur P(a) =0 on utilise Delta mais ça donne quoi si on factorise P(x) par x-a ?
Et sinon pour la 1 jai pas trop compris et pour le 4 je sais ce que on pourrait en conclure.

Pourriez-vous m'aidez pour savoir ce qu'il faut faire et si il faut bien utiliser Delta dans les questions que j'ai dit.

salut

: tu développes la "grosses expression qui t'est donnée ; ça doit rendre l'expression initiale de P au bout des calculs.

2a) : oui.

2b) : il faut faire un changement de variable : pose t = x²-2x+3 ; alors
P(x) devient P(t) = t²+t+1 et donc...

: si P(x) = (x-a)Q(x) c'est-à-dire si P(x) se factorise par (x-a) alors que vaut P(a) ? remplace x par a et tu trouveras !
: la réponse est dans le projet : On souhaite montrer que P(x) ne peut pas s'écrire sous la forme (x-a)Q(x) où Q(x) est un polynôme. il faut pour cela que tu te serves de la conclusion de la question 2b).

merci pour l'aide,mais pour la question 1 je bloque, j'ai développé la grosse expression et j'ai trouvé $x^4$ -4x³+5x²-2x+13
Quelle est mon erreur ??
La question 2a jai reussi!
Par contre pour la 2.b. nous n'avons pas encore vu les variables, comment faire alors ?

ok merci mais maintenant pour la premiere question quand je développe la grosse expression : (x²-2x+3)²+(x²-2x+3)+1, je doit normalement retomber sur l'expression initiale de P(x) qui est : $x^4$ -4x³+11x²-14x+13.
Et moi je trouve x4-4x³+5x²-2x+13, je crois que c'est à cause de la premiere parenthèse qui est au carré, je ne sais pas trop comment la développer ?

et pour la question 3, si on suppose que P(x) se factorise par x-a, alors P(x) = $x^4$ -4x³+11x²-14x+13 devient P(a) = $x-a)^4$ -4(x-a)³+11(x-a)²+13 ? c'est ça ?

(x²-2x+3)² = (x²-2x+3)(x²-2x+3) et tu développes comme au collège : ça donne x^4-2x^3+3x²-2x^3+4x²-6x+3x²-6x+9 où chaque terme de la première parenthèse a été multiplié par chaque terme de la deuxième parenthèse.

ta dernière assertion si on suppose que P(x) se factorise par x-a, alors P(x) = x4 -4x³+11x²-14x+13 devient P(a) = (x-a)4-4(x-a)³+11(x-a)²+13 ? est fausse. il n'y a pas un tel changement de variable.
dire que P(x) se factorise par (x - a) revient à écrire P(x) = (x-a)Q(x), où Q est un certain polynôme... Alors il est clair que P(a) = (a-a)Q(a) = 0.

ok j'ai reussi la premiere question, donc pour la 3 pas besoin de delta pour montrer que P(a)=0 il faut juste dire que si factorise P(x) par (x-a)
cela revient à écrire que P(x) = (x-a)Q(x) et que Q est un certain polynôme donc P(a) = (a-a)Q(a) = 0 ??
Pour la question 2b) j'ai utilisé delta mais je trouve delta négatif, il faut utiliser delta pour t²+t+1 ou pour x²-2x +3 ??

Merci de ton aide, je comprend de mieux en mieux

oui pour P(a).

pour la fin : si jamais P pouvait être factorisé sous la forme (x-a)Q(x), alors tu aurais P(a) = 0 nécessairement.

mais tu as vu que P est toujours > 0.

donc P(a) devrait être > 0 ! n'y a t-il pas une contradiction ?

euh je n'ai pas très bien ce que veut tu dire par là ?

:s

SI le polynôme P pouvait être factorisé par (x-a) ALORS tu aurais P(a) = 0.

OR tu sais que P(a) > 0 pour tout a.

DONC ?

réfléchis à la logique de la chose (il y a une contradiction : incompatibilité, absurdité).

Donc le polynôme P ne peut pas être factorisé par (x-a) ?

exactement !!!

oki donc si je récapitule, on a :

Pour tout x réel, on l'égalité :
P(x)=(x²-2x+3)²+(x²-2x+3)+1= $x^4$ -4x³+11x²-14x+13

2.a) Trinôme : x²+x+1 a=1 b=1 c=1
Delta = b²-4ac = 1-4=-3
Donc delta <0 et le trinôme est strictement du signe a, c'est-à-dire positif.
2.b) Si on pose t = x²-2x+3 ; alors
P(x) devient P(t) = t²+t+1 puis avec Delta : a = 1 b=1 c=1
Delta = b²-4ac=-3 donc P(x) >0

Si on factorise P(x) par (x-a) cela revient à écrire que P(x)= (x-a)Q(x) et que Q est un certain polynôme donc P(a) = (a-a)Q(a) = 0.
Nous pouvons en conclure que P(x) ne peut pas s'écrire sous la forme (x-a)Q(x) où Q est un polynôme car si on pouvait factoriser, on aurait P(a)=0 or on sait que P(x) >0 donc il ne peut pas être factorisé par (x-a).

C'est cela ?

voilà.

ok merci =D