angle interceptant un cercle : équation de la tangente

onjour a tous je suis bloqué sur un exercice type probleme et je ne comprend pas certaines questions .

VOici l'ennoncé :

Le but est de déterminer les coordonnées des points les plus extremes d'un cercle qu'un observateur voit (ce ne sont pas les points qui sont sur le diametre orthogonal a la direction de l'observateur).POur cela , on fixe un repere R orthonormé direct ayant pour origine l'observateur.TOus les calculs de coordonnées se feront dans ce repere.On rappelle que le cercle de centre C et de rayon R est l'ensemble des points M du plan a la distance R de C. On supposera que le cercle est entierement contenu dans le quart de plan nord-est, c'est a dire que x0>R et yo>R ou (x0;y0) sont les coordonnées du centre du cercle C.

voici les questions

1 MOntrer que le pt M(x;y) appartient au cercle de centre C(x0;y0) de rayon R si et seulement si (x-x0)²+(y-y0)²=R².

Montrer que le cercle est la réunion des courbes representatives de 2 fonctions f et g définies chacunes sur l'intervalle [x0-R;x0+R] dont on donnera l'expression algébrique.
POur M un pt du cercle calculer les coeff directeur des droite (Om) et (MC)
On rappelle que deux droites affines sont orthogonales ssi le produit de leur coefficient directeur vaut -1.MOntrer que (OM) est orthogonale a (MC) ssi x(x-x0)+y(y-y0)=0
En deduire que le pt M est extrémal sur le cercle ssi il est solution du systeme

(x-x0)²+(y-y0)²=R² et x0x+y0y=x0²+y0²-R²

6 Interpreter géométriquement le resultat de la seconde équation .

J'ai besoin d'aide en particulier pour les question 1 2 5 6 , car la 3 je pense avoir compris mais pour les question 1,2 ,5et 6 j'aurai besoin de votre aide

pouurait t'on m'éclaircir sur ce sujet merci d'avane!

salut

tu devrais modifeir le titre : "angle interceptant un cercle : équation de la tangente" me semble plus approprié que ton "manipulation algébrique".

Citation
1 MOntrer que le pt M(x;y) appartient au cercle de centre C(x0;y0) de rayon R si et seulement si (x-x0)²+(y-y0)²=R².
théorème de Pythagore : question de cours.

Citation
2. Montrer que le cercle est la réunion des courbes representatives de 2 fonctions f et g définies chacunes sur l'intervalle [x0-R;x0+R] dont on donnera l'expression algébrique.
trace une parallèle à (Ox) passant par le centre, tu coupes ainsi le cercle en deux courbes de fonctions
précisément :
(x-x0)²+(y-y0)²=R² revient à y = y0 + √[R² - (x-x0)²]
ou bien y = y0 - √[R² - (x-x0)²].
ce sont bien deux fonctions de x sur l'intervalle spécifié.

Citation
3. Pour M un pt du cercle calculer les coeff directeur des droite (OM) et (MC)
tu as trouvé quoi ?

Merci pour le tuyau cosmos , je te dis ce que j'ai fais

ma reponse pour la question 1 :

DAns un triangle MAC rectangle en A,on a d'apres le theoreme de pythagore : AC²+MA²=MC²
donc (x-x0)²+(y-yo)²=R²

on retrouve bien l'expression de depart

question 3

Les coeff directeurs de droites (OM) sont
Ym-y0/xm-x0 = ym-0/xm-0 = ym/xm = y/x

les coeff directeurs des droites (MC) sont :

yc-ym/xc-xm= y0-y/x0-x

Ma reponse a la question 4:

On veut montrer que x(x-x0)+y(y-y0)=0
On sais que 2 droites sont affine ssi le produit de leur coeff directeur de -1

y/x * y0-y/x0-x = -1

ssi y(y0-y)/x(x0-x)= -1

ssi x(x0-x) ( (y(y0-y)/x(x0-x)= -1))

ssi y(y0-y)= -x(x0-x)

ssi y(y0-y)+x(x0-x)=0

ma question pour la 5

je développe: x(x-x0)+y(y-y0)=0
x²-x0x+y²-yoy
donc x0x+y0y=x²+y0²-R²

Dans un repere R orthonormé direct on a pour origine l'observateur 0 qui a pour extrémaux M ET N.

Je ne sais pas si la redaction est juste

MA reponse pour la question 6 :

Par contre j'ai pas trouver comment faire

J'aimerai que tu me corrige merci d'avance

VOila j'attend que vous me corrigeriez merci d'avance

Vu :
q3. ok

q4. ok

q5. donc x0x+y0y=x
0²+y0²-R²

il faut aussi *comprendre *pourquoi "M extrémal" revient à ce que (CM)perp à (OM) - hist. de tangente.

je dirais pour l'interprétation géométrique, en notant déjà que x0²+y0²-R² donne OM², avec pythagore, on a

1° x0x+y0y qui est le début de l'équation d'une droite perpendiculaire à (OC) ;

2° la deuxième équation correspond à la droite perpendiculaire à (OC) passant par M.

mwouais... on doit trouver un peu mieux !

Donc si je comprend bien il ne faut pas calculer mais juste justifier ???