Problème de grenier : flacon sphérique

Bonjour à vous, membres de la sphère mathématique,

Voilà, j'ai retrouvé un problème sur une feuille volante dans mon grenier et la solution n'y était pas rattachée... Je ne suis plus étudiant et n'ai plus le niveau pour résoudre ce genre de problème. Je compte sur vous!

Enoncé: "Un parfumeur doit mélanger deux liquides dans un flacon sphérique de 12 cm de diamètre : un rouge et un bleu. Il verse d'abord 114 cm³ de liquide bleu, et s'interroge sur la hauteur restante pour le liquide rouge. Quelle est cette hauteur?"

Merci de votre intérêt éventuel.

Creaver

Bonjour,

Je pense pouvoir résoudre ce problème à l'aide des intégrales ...

Tu t'en souviens ?

salut

dans cluzel-court, on trouve la formule du volume du segment sphérique à une base (on dirait plutôt "calotte sphérique" pour simplifier, aujourd'hui) de hauteur h, dans une sphère de rayon r.

$\frac{\pi h^2}3;(3r - h).$

Thierry, que penses-tu de la réponse de Cosmos? Elle mêle volume et rayon, données connues et implique la hauteur que l'on cherche.
Oui, oui les intégrales, ça me parle (un peu). Je vais calculer avec la formule de Cosmos. Tu trouves quoi pour la hauteur?

Merci de votre aide à tous les deux.

Creaver

(je viens d'essayer: je n'arrive pas à isoler h...)

Il faut d'abord trouver le volume global du flacon, soit V=4πr³/3 = 904,778... cm³.
Le volume pour le liquide rouge est donc 904,778 - 114 = 790, 778 cm³

Avec la formule suivante: V = (πh²/3)(3r-h), je devrais trouver la hauteur h, mais pour cela, il faudrait déjà que j'arrive à l'isoler et la mettre en fonction de r ou de V, données connues, de manière simplifiée, ex: h = ...

Voilà où jen suis... (je n'y parviens pas!)

A+

Salut,

C'est tout à fait la formule qu'il te faut.
Il te faut résoudre une équation du 1er degré.

Tu vas y arriver !

Ah bon, j'arrive à des h³* et je n'arrive toujours pas isoler h, de cette façon: h= ... (h en fonction de r et de V).

*C'est un peu fastidieux à écrire ici, mais j'arrive à:

-h³+18h²-(3V/π) = 0 (en remplaçant r par sa valeur)

Ce serait peut-être mieux par les intégrales, non?

Non en fait la méthode par les intégrales est juste utile pour retrouver la formule qu'a donné zauctore (parce que c'est pas une formule que l'on retient habituellement) et donc on aboutira à cette même équation.
Le problème c'est que c'est une équation du troisième degré, donc il va falloir ruser pour la résoudre, ce ne sont pas des équations évidentes.

En fait tu as plusieurs méthodes, certaines utilisant des formules un peu lourdes te donneront le résultat exact (avec quelques racines cubiques qui se baladent...), tu peux regarder par exemple ce qui est proposé ici : résolution d'équations du troisième degré

Sinon tu peux trouvé un résultat approché en étudiant la fonction f:h->-h³+18h²-(3V/π), c'est-à-dire en la dérivant (si tu te souviens encore...) puis en étudiant le signe de la dérivée, ce qui te donne les variations de f et te permet de déterminer où f s'annule...
Si tu veux que l'on développe cette deuxième possibilité n'hésite pas à demander !