étude de fonction avec racine carrée

Bonjour à tous
voilà un prof a donné un exo pour s'entrainer pour le bac mais je suis bloqué et j'aimerais vraiment le finir et le comprendre.
On a g(x)=√(x²+4x+3)+x :

Déterminer les limites de g en -l'infini et +l'infini et préciser si elle admet des asymptotes
a) Calculer la dérivée et étudier son signe
b )le tableau de variations
3)prouver que y=2x+2 est une asymptote oblique de Cg en +l'infini

Sur papier ca a l'air simple mais en réalité cé un peu plus complexe.
Pour la 1) le prof nous m'a donné une méthode mais je suis quand même coincé.
J'arrive à : g(x)=(4+(3/x))/(√(1+(4/x)+(3/x²))-1)
J'espère que vous allez comprendre^^*. Et je sais pas quoi en faire.
De plus pour la dérivée je ne sais pas avec laquelle formule la faire.
Si vous pouvez l'aider ce serait sympa.
Merci d'avance