équation du 4ème degré



  • Bonjour à tous !

    Comme vous pouvez le voir dans le titre, je suis en galère avec un DM de maths parlant des fonctions composées.
    Je dois le rendre pour demain (jeudi donc) mais je n'ai encore rien fait du premier et second exercice...

    J'ai besoin d'aide !! Je vous affiche donc le sujet :

    Exercice 1 :

    On considère l'équation (E)=x4-3x3+2x²-3x+1=0

    1. Vérifiez que zéro n'a pas de solutions (Déjà fait, il reste 1)

    2. Démontrer que si X est une solution de l'équation (E), alors 1/X est aussi solution de (E)

    3. On pose u= x+1/x

    a) Calculer u² et en déduire x²+1/x en fonction de u (J'ai la solution)

    b) Montrer que l'équation (E) est équivalente à l'équation (E'): x²+1/x²-3(x+1/x)+2=O

    c) Montrer que (E) est alors équivalente au système u= x+1/
    u²-3u =0
    d) En déduire les solutions de l'équation (E).

    Exercice 2 :

    f est une fonction décroissante sur .
    Comparer suivant les valeurs du réel x, les nombres f(x) et f(x²).

    Je vous remercie d'avance pour votre aide et attends avec impatience vos réponses.



  • Ex1:

    1. Montrer que x0,e(x)=0e(1x)=0\forall x\neq 0, e(x)=0 \rightarrow e(\frac{1}{x}) = 0.
      Soit un x arbitraire, supposons que E(x) = 0 est vrai.
      On a e(1x)1x43x3+2x23x+1e\left(\frac{1}{x}\right) \equiv \frac{1}{x^4} - \frac{3}{x^3}+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}+1

    On réduit au même dénominateur (ok car x0x \neq 0):

    $\begin{eqnarray} \ & \frac{1-3x+2x^2-3x^3+x^4}{x^4}&=&0 \ \ \leftrightarrow &x^4-3x^3+2x^2-3x+1 & = & 0 \end{eqnarray}$
    Ok car E(x)=0 par hypothèse.

    1. a) u2=x2+2x+1x2u^2 = \frac{x^2+2x+1}{x^2}
      x2+1x=u2x2\frac{x^2+1}{x} = u^2x-2

    b) Montrer que E(x) = E'(x), x\forall x

    $\begin{eqnarray} \ e'(x) \equiv & x^2 + \frac{1}{x^2} - 3\left(x+\frac{1}{x}\right) +2 & = &0 \ \ & \frac{x^4+1-3x^2\left(x+\frac{1}{x}\right)+2x^2}{x^2} & = &0 \ \ & x^4 - 3x^3 +2x^2 - 3x+1 & = & 0 \ \ \end{eqnarray}$

    Ex2:

    $f(x) \text{ est decroissante } \leftrightarrow \forall x \in \re, \forall \varepsilon > 0, f(x)>f(x+\varepsilon)$

    Etudier f(x) et f(x²):

    a) x=x2x=1 ou x=0x = x^2 \leftrightarrow x = 1 \text{ ou } x = 0. Donc f(x)=f(x2)f(x)=f(x^2) quand x = 1 et quand x = 0.

    b) Soit x>0, $x^2>x \leftrightarrow x > 1$. Donc f(x²) < f(x) quand x>1. Mais f(x²) > f(x) quand 0 < x < 1.
    c) Soit x<0, [mtex]x < x^2 \Leftrightarrow \frac{x^2}{x}<\frac{x}{x} \Leftrightarrow x<1[/mtex]. Donc f(x²) < f(x) quand x<0.



  • Iroh

    Ex1:

    1. Montrer que x0,e(x)=0e(1x)=0\forall x\neq 0, e(x)=0 \rightarrow e(\frac{1}{x}) = 0.
      Soit un x arbitraire, supposons que E(x) = 0 est vrai.
      On a e(1x)1x43x3+2x23x+1e\left(\frac{1}{x}\right) \equiv \frac{1}{x^4} - \frac{3}{x^3}+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}+1

    On réduit au même dénominateur (ok car x0x \neq 0):

    $\begin{eqnarray} \ & \frac{1-3x+2x^2-3x^3+x^4}{x^4}&=&0 \ \ \leftrightarrow &x^4-3x^3+2x^2-3x+1 & = & 0 \end{eqnarray}$
    Ok car E(x)=0 par hypothèse.

    1. a) u2=x2+2x+1x2u^2 = \frac{x^2+2x+1}{x^2}
      x2+1x=u2x2\frac{x^2+1}{x} = u^2x-2

    b) Montrer que E(x) = E'(x), x\forall x

    $\begin{eqnarray} \ e'(x) \equiv & x^2 + \frac{1}{x^2} - 3\left(x+\frac{1}{x}\right) +2 & = &0 \ \ & \frac{x^4+1-3x^2\left(x+\frac{1}{x}\right)+2x^2}{x^2} & = &0 \ \ & x^4 - 3x^3 +2x^2 - 3x+1 & = & 0 \ \ \end{eqnarray}$

    Ex2:

    $f(x) \text{ est decroissante } \leftrightarrow \forall x \in \re, \forall \varepsilon > 0, f(x)>f(x+\varepsilon)$

    Etudier f(x) et f(x²):

    a) x=x2x=1 ou x=0x = x^2 \leftrightarrow x = 1 \text{ ou } x = 0. Donc f(x)=f(x2)f(x)=f(x^2) quand x = 1 et quand x = 0.

    b) Soit x>0, $x^2>x \leftrightarrow x > 1$. Donc f(x²) < f(x) quand x>1. Mais f(x²) > f(x) quand 0 < x < 1.
    c) Soit x<0, [mtex]x < x^2 \Leftrightarrow \frac{x^2}{x}<\frac{x}{x} \Leftrightarrow x<1[/mtex]. Donc f(x²) < f(x) quand x<0.


 

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