Petit exercice rapide de démonstration

[enf-guer]

ABC est un triangle rectangle en A. Le point D est tel que (BD) est perpendiculaire à (AB) et que BD = BC.
DC sont de part et d'autre de (AB)
Démontrer que (CD) est bissectrice de l'angle ACB.

[Zauctore]

salut

du fait que CBD est isocèle en B résulte que angleBCD = angleBDC.

et de plus angleACD est alterne-interne avec angleBDC (à justifier), donc ils sont égaux.

cqfd.

[Iroh]

Attention:J'ai pris l'hypothèse où BD = AC et non BD = BC, d'où la contradiction.

<img style="vertical-align:middle;" src="http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{Soit ABC un triangle rectangle en A.} \
\text{Soit un point } D \text{ tel que } [BD] \perp [AB] \text{ et que } D \text{ et } C \text{ soient de part et d'autre de } [AB]. \
\left( [AB] \perp [BD]\right) \wedge \left([AB] \perp [AC]\right) \Rightarrow [BD] \parallel [AC]. ">

<img style="vertical-align:middle;" src="http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?

\text{Considerons les triangles } ABC \text{ et } ABD \text{, et montrons qu'ils sont semblables.}\

\text{1) Un angle egal :} \widehat{ABD} = \widehat{BAC} \
\text{2) Un cote commun incident a l'angle egal: } [AB] \
\text{3) Un cote de meme longueur incident a l'angle egal: } [BD] & [AC]

\

\text{Ils sont bien semblales. On a alors ici que } \overline{BC} = \overline{AD}. \

\text{ADBC est au moins un parallelograme, mais pas forcement un losange!} \
\text{Il faudrait pour cela que } \overline{AD} \ \text{ et } \overline{AC} \text{ soient de meme longueur.} \

\text{C-a-d que le triangle de depart soit isometrique en } [BC] \text{ et en } [AC] !

">

$\text{Les diagonales d’un losange sont les bisectrices des angles relatifs aux somments}\text{qu’elles interceptent, ce qui n’est pas forcement le cas pour un parallelogramme quelconque.}$

[Zauctore]

re.

l'énoncé proposé "fonctionne".