dérivation et fonction tangente

Bonjour voilà je suis en Terminale S et mon professeur de mathématiques nous a donné un devoir maison composé de 2 exercices. Mais je suis bloqué à cet exercice que je ne comprends pas bien à partir de la question 2.a). Est ce que que vous pourriez m'aider ou juste me donner une piste car pour f'n(x) je trouve
-nx^(n-1)/(2√1-x) . Merci de vos réponses.

Voilà l'exercice:

Pour tout entier n strictement positif, on définit la fonction fn sur l'intervalle [0,1] par:
fn(x)=x^n * (1-x)

1.Calculer fn(0) et fn(1).

a)Justifier que fn est dérivable sur [0,1] et monter que
f'n(x)= ((x^n-1)/2√(1-x))*(2n-(2n+1)x)

b)Etudier la dérivabilité de fn en 1.

c)Dresser le tableau de variations de fn.

a)Monter que fn admet un maximum a(n) que l'on exprimera en fonction de n.

b)Prouver que a(n)≤1/(√(2n+1))

c)En déduire que la suite (a(n)) n∈N est convergente et préciser sa limite.

salut

tu es sûr que c'est
$fn(x)=xn×(1−x)f_n(x)=x^n \times (1-x)$
et pas avec une racine sur (1-x) ?

oui pardon c'est x^n*√(1-x)

dérivons !

$f_n'(x)=(x^n)' \times \sqrt{1-x} + x^n \times (\sqrt{1-x})' \ = nx^{n-1} + \frac{-1\times x^n}{2\sqrt{1-x}}\ = \frac{2\sqrt{1-x}\times nx^{n-1}- x^n}{2\sqrt{1-x}$

etc à factoriser par x^{n-1}

elle est bizarre, l'expression que tu donnes pour f_n'

merci beaucoup

Je te remercie de ta réponse mais je ne comprends pas comment on passe de cette expression en factorisant par x^(n-1).

re.

$\frac{2\sqrt{1-x}\times nx^{n-1}- x^n}{2\sqrt{1-x}}= x^{n-1} \times \frac{2n\sqrt{1-x}- x}{2\sqrt{1-x}$

après je te laisse voir quoi (l'expression dans ton énoncé me laisse à première vue perplexe).