exercice de specialite...

Salut a tous ,
voila je suis bloque dans un exercice de specialite Math (donc terminal S) que j'ai du mal a savoir par ou je dois commencer ! Donc si quelqu'un pourrait m'aider je serait sympa, merci !

K appartient a IN (entier)
on pose : A= 6K+5 et B=8K+3
Montrer que les seuls diviseurs naturels communs a A et B sont 1 et 11 .

Donc je ne sias pas par ou commencer et comment le faire meme si j'ai vu que pour K=1 A=B=11 m'enfin a quoi ca mene ?
merci pour les reponses !

je sais pas si je me trompe et si ça peut t'aider à quelque chose mais je pense avoir remarquer que qqsoit/ K 6K+5 est un nombre premier ou ses diviseurs sont des nombres premiers
je sais pas qi on peut le generaliser pour tout n mais comme tes diviseurs sont des nombres premiers surement que ça a un rapport!!
voilà j'essaye de creuser un peu plus

eee ben non car pour K=5 A=35 donc ca fonctionne pas....ainsi que pour K=10...

oups pardon je dis que des betises désolé

non non c'est aps grave car je tourne autour des solutions j'en suis sur mais je ne trouve pas la clef et c'est chiant lol....
c'est un peut logique..
6K+5 : 6+5=11 et pour K=1 A=11
8K+3 : 8+3=11 et pour K=1 B=11
mais bon quoi faire avec ca ?

c'est bon à rien parce que tu pars de ce que tu dois trouver!!
vous etes entrain de faire quelle leçon même si je suis que en premiere S on peut peut etre arriver ensemble à trouver

ben deja moi je sais que dans tout les diviser de n ( un nombre appartenant a Z) ben il a 4 diviseur sur :
c'est 1; -1; n et -n
et donc 1 est donc un diviseur commun a A et B pour K entier donc c'est bon !
mais maintenant 11 : ??? et la lol

oui comme tu dis désolé je ne vois pas!
faut attendre que il y est quelqu'un de plsu baleze qui vienne

et j'ais aussi trouve ca :
6K+5=px11 p un entier naturel
et ca marche pour p=7
et pour 8K+3=p'x11 p' entier nat
et ca marcje pour p'=9
mais bon je ne l'ais pas trouver avec des relations....
a l'aide !!! lol

personne ne peut m'aider ? :frowning2:

Citation

Soit k appartenant à IN.
on pose : A= 6k+5 et B=8k+3
Montrer que les seuls diviseurs naturels communs à A et B sont 1 et 11.

Une combinaison comme 4A - 3B permet d'éliminer k
4A - 3B = 11 ;
ceci montre que le pgcd de 4A et de 3B est égal au pgcd de 3B et de 11, c'est-à-dire au pgcd de B et 11, puisque 3 et 11 sont premiers entre eux (c'est le lemme de Gauss).
De même, le pgcd de 4A et 3B est le même que celui de A et B.
Donc on a pgcd(A, B) = pgcd(B , 11).
Ceci montre que le pgcd de A et b est un diviseur de 11, c'est donc 1 ou 11. Cqfd, non ?

Zauctore
ceci montre que le pgcd de 4A et de 3B est égal au pgcd de 3B et de 11, c'est-à-dire au pgcd de B et 11, puisque 3 et 11 sont premiers entre eux (c'est le lemme de Gauss).
De même, le pgcd de 4A et 3B est le même que celui de A et B.

ee non je ne te suis pas trop la !! quelle regle tu appliques ?
j'arrive pas a voir en quoi le pgcd de 4A et 3B = pgcd de 3B et 11 !!
je suis sur cet exercice depuis quelque heure deja et j'ai un peut de mal a cerner tous la lol :frowning2:

je vien de voir que le lemmen de gauss etait une application ou une regle et que moi je ne l'ais jamais enttendu lol !!

Cette propriété :

si u - v = w, alors pgcd(u , v) = pgcd(v , w).

On la formule parfois en disant que les diviseurs communs à deux nombres sont aussi diviseurs de leur différence.

C'est elle qui est à la base de l'algorithme d'Euclide.

Pour t'en convaincre, prends un diviseur d de u et v. Alors puisque w = u - v, alors d est aussi un diviseur de w. La réciproque se fait de la même manière.

Ici : on a en quelque sorte u - v = 11.

Les diviseurs de u et de v sont donc aussi des diviseurs de 11.
C'est peut-être pus clair comme ça.

ouai je comprend mieux , merci pour ton aide...je vais donc retenir cette solution meme si je pesne que dans cet exercice ce n'etait pas la facon dont il fallait ressoudre ! Car en lecon je fait "divisibilite" donc ca a l'air un peut hors sujet m'enfin j'ai appri un truc de plus c'est cool
merci..

Ben non : c'est exactement une application de la divisibilité :

Je reprends.

On a 4A - 3B = 11.
Les diviseurs communs de A et de B sont aussi des diviseurs de la différence 4A - 3B
Donc ce sont aussi des diviseurs de 11.
Et là c'est bon !

Comme ça, il n'y a que de la divisibilité de base.
J'avais inutiliement compliqué.

L'idée à retenir est celle d'une combinaison qui élimine les "k".

ok...c'est sympa de m'expliquer...de plus j'aurais jamais eu l'idee de combiner pour enlever K..
en fait j'ai regarde les cour dans mon livre de specialite et la propriete que tu me donne sera dans ma lecon suivante donc comme ca je l'aurais deja comprise lol..

a ben je vien de trouver 11 en diviseur d'apres une priorite;
c'est : "tout diviseur positif "d" d'un entier non nul "n" verifie : 1 >= d >= n

donc j'ai resolu ---> 6K+5 <= d avec la combinaison avec 8K+3 <= d
et je trouve comme valeur de "d" -->11 donc je pens eque c'est bon lol je suis assez content mdr
c'est juste non zauctore ?