nombres complexes et ensembles de points


  • T

    Bonjour!
    J'ai un probleme avec mon exercice, pour ceux qui ont le livre "hyperbole terminale S edition 2006", il est à la page 317.
    (la notation u-> signifie vecteur u)
    Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal direct (O;u->,v->)
    On appelle A le point d'affixe -1 et B le point d'affixe 1.
    On appelle E l'ensemble des points du plan distincts de A, O et B.
    A tout point M d'affixe z appartenant à l'ensemble E, on associe le point N d'affixe z² et le point P d'affixe z³.

    1. Prouver que les points M, N et P sont deux à deux distincts. ----> OK
    2. On se propose dans cette question de déterminer l'ensemble C des points M appartenant à E tels que le triangle MNP soit rectangle en P
      a) En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que MNP est rectangle en P si, et seulement si, |z+1|²+|z|²=1
      b) Démontrer que |z+1|²+|z|²=1 équivaut à (z+1/2)(z+1/2)barre=1/4 (c'est le deuxième (z+1/2) qui est entièrement sous la "barre")
      c) En déduire l'ensemble C cherché.

    Alors voilà, pour la question 1, pas de problème. Mais à partir de la deuxième ça coince...
    L'énoncé demande d'apliquer Pythagore, donc je me suis dit que dire que le triangle MNP est rectangle en P équivaut à dire que
    MP²+NP²=MN²
    |z³-z|²+|z³-z²|²=|z²-z|²
    Mais ça ne me mène a rien 😞 J'ai essayé des factorisations:
    |z*(z²-1)|²+|z*(z²-z)|²=|z(z-1)|²

    |z|²*|z²-1|²+|z|²*|z²-z|²=|z|²*|z-1|²

    |z²-1|²/|z|² + |z²-z|²/|z|² = |z-1|² (là j'ai tout divisé par |z|²) mais voilà ça ne me mène à rien du tout, je retourne cette équation dans tout les sens mais pas moyens je ne vois pas comment faire!!

    Et pour la question 2 b, c'est la même chose!
    Enfin, pour la question 2 c, j'ai tenté quelque chose mais toujours rien:
    en effet je suis parti du résultat donné à le question 2b:

    (z+1/2)(z+1/2)barre=1/4
    si z=a+ib
    (a+ib+1/2)(a-ib+1/2)=1/4

    a²-aib+a/2+aib-i²b²+ib/2+a/2-ib/2+1/4=1/4

    a²+b²+a+1/4=1/4

    a²+b²+a=0 et voilà, je pense que tout ça ne sert à rien car je ne vois pas ce que je peux en déduire... 😞

    Bref voilà l'exercice n'est pas fini mais je pense avoir moins de probleme pour la suite qui m'a l'air plus accessible. Donc si quelqu'un pourrait m'aider à y voir plus clair là dedans ce serait gentil 🙂
    Merci


  • Zorro

    Bonjour,

    Pour la 1) essaye plutôt de mettre z(z-1) en facteur

    Pour la 2) utiliser que ,z,+,1,2,ˉ,=,,z,ˉ+1,2,\bar { ,z ,+ ,\frac{1}{,2,}},=, \bar {,z,}+\frac{1}{,2,},z,+,,2,1ˉ,=,,z,ˉ+,2,1


  • T

    Bonjour!
    Désolée de revenir vous embeter mais voilà j'ai encore un problème avec la suite...
    Pour la partie que je vous ai notée plus haut, c'est ok, l'ensemble C cherché est le cercle qui a pour centre le point d'affixe -1/2 et pour rayon ½.
    Mais pour la suite, j'ai du mal...

    M est un point de E d'affixe z, r est le module de z et a est l'argument de z, a est compris entre -Pi et Pi.
    Je dois démontrer que l'ensemble F des points M de E, tels que l'affixe de P soit un réel strictement positif, est la réunion de trois demi-droites (eventuellement privées de points).
    J'ai déjà mis le temps à comprendre la question, et à comprendre qu'on nous disait ce qu'on devait trouver (l'ensemble est constitué de trois demi-droites).

    Bon alors tout d'abord je me suis dit que vu que l'affixe de P (z³) doit être un réel, cela signifie que Im(z³)=0. (Je ne sais pas si vous le notez comme ça mais ça veut dire: partie immaginaire de z³ égale 0).

    Alors j'ai noté z=x+iy avec x et y des réels.
    Puis j'ai cherché la forme algébrique de z³:
    z³=(x+iy)³ et j'ai trouvé: z³=[x(x²-3y²)]¨+[iy(3x²-y²)]

    Mais comme z³ est un réel, alors y(3x²-y²)=0
    donc z³=x(x²-3y²)

    Or il faut que ce soit un réel strictement positif donc:
    z³>0
    x(x²-3y²)>0
    donc soit: x>0
    soit x²-3y²>0
    Mais là, ça veut dire quoi?? que x²>3y²?
    Donc que x>√(3)y ?? ou que y<x/√(3) ???
    La je bloque 😞
    Si quelqu'un pouvait m'apporter son aide^^ Et merci déjà à tout ceux qui auront eu le courage de lire ce problème !!


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