nombres complexes et ensembles de points

Bonjour!
J'ai un probleme avec mon exercice, pour ceux qui ont le livre "hyperbole terminale S edition 2006", il est à la page 317.
(la notation u-> signifie vecteur u)
Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal direct (O;u->,v->)
On appelle A le point d'affixe -1 et B le point d'affixe 1.
On appelle E l'ensemble des points du plan distincts de A, O et B.
A tout point M d'affixe z appartenant à l'ensemble E, on associe le point N d'affixe z² et le point P d'affixe z³.

Prouver que les points M, N et P sont deux à deux distincts. ----> OK
On se propose dans cette question de déterminer l'ensemble C des points M appartenant à E tels que le triangle MNP soit rectangle en P
a) En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que MNP est rectangle en P si, et seulement si, |z+1|²+|z|²=1
b) Démontrer que |z+1|²+|z|²=1 équivaut à (z+1/2)(z+1/2)barre=1/4 (c'est le deuxième (z+1/2) qui est entièrement sous la "barre")
c) En déduire l'ensemble C cherché.

Alors voilà, pour la question 1, pas de problème. Mais à partir de la deuxième ça coince...
L'énoncé demande d'apliquer Pythagore, donc je me suis dit que dire que le triangle MNP est rectangle en P équivaut à dire que
MP²+NP²=MN²
|z³-z|²+|z³-z²|²=|z²-z|²
Mais ça ne me mène a rien J'ai essayé des factorisations:
|z*(z²-1)|²+|z*(z²-z)|²=|z(z-1)|²

|z|²*|z²-1|²+|z|²*|z²-z|²=|z|²*|z-1|²

|z²-1|²/|z|² + |z²-z|²/|z|² = |z-1|² (là j'ai tout divisé par |z|²) mais voilà ça ne me mène à rien du tout, je retourne cette équation dans tout les sens mais pas moyens je ne vois pas comment faire!!

Et pour la question 2 b, c'est la même chose!
Enfin, pour la question 2 c, j'ai tenté quelque chose mais toujours rien:
en effet je suis parti du résultat donné à le question 2b:

(z+1/2)(z+1/2)barre=1/4
si z=a+ib
(a+ib+1/2)(a-ib+1/2)=1/4

a²-aib+a/2+aib-i²b²+ib/2+a/2-ib/2+1/4=1/4

a²+b²+a+1/4=1/4

a²+b²+a=0 et voilà, je pense que tout ça ne sert à rien car je ne vois pas ce que je peux en déduire...

Bref voilà l'exercice n'est pas fini mais je pense avoir moins de probleme pour la suite qui m'a l'air plus accessible. Donc si quelqu'un pourrait m'aider à y voir plus clair là dedans ce serait gentil
Merci

Bonjour,

Pour la 1) essaye plutôt de mettre z(z-1) en facteur

Pour la 2) utiliser que $,z,+,1,2,ˉ,=,,z,ˉ+1,2,\bar { ,z ,+ ,\frac{1}{,2,}},=, \bar {,z,}+\frac{1}{,2,}$

Bonjour!
Désolée de revenir vous embeter mais voilà j'ai encore un problème avec la suite...
Pour la partie que je vous ai notée plus haut, c'est ok, l'ensemble C cherché est le cercle qui a pour centre le point d'affixe -1/2 et pour rayon ½.
Mais pour la suite, j'ai du mal...

M est un point de E d'affixe z, r est le module de z et a est l'argument de z, a est compris entre -Pi et Pi.
Je dois démontrer que l'ensemble F des points M de E, tels que l'affixe de P soit un réel strictement positif, est la réunion de trois demi-droites (eventuellement privées de points).
J'ai déjà mis le temps à comprendre la question, et à comprendre qu'on nous disait ce qu'on devait trouver (l'ensemble est constitué de trois demi-droites).

Bon alors tout d'abord je me suis dit que vu que l'affixe de P (z³) doit être un réel, cela signifie que Im(z³)=0. (Je ne sais pas si vous le notez comme ça mais ça veut dire: partie immaginaire de z³ égale 0).

Alors j'ai noté z=x+iy avec x et y des réels.
Puis j'ai cherché la forme algébrique de z³:
z³=(x+iy)³ et j'ai trouvé: z³=[x(x²-3y²)]¨+[iy(3x²-y²)]

Mais comme z³ est un réel, alors y(3x²-y²)=0
donc z³=x(x²-3y²)

Or il faut que ce soit un réel strictement positif donc:
z³>0
x(x²-3y²)>0
donc soit: x>0
soit x²-3y²>0
Mais là, ça veut dire quoi?? que x²>3y²?
Donc que x>√(3)y ?? ou que y<x/√(3) ???
La je bloque
Si quelqu'un pouvait m'apporter son aide^^ Et merci déjà à tout ceux qui auront eu le courage de lire ce problème !!