Dérivation de 1/(1+x²)



  • bonjour,
    je suis une élève de TS et je n'arrive pas à résoudre cet exercice plutot long^^
    si vous pouviez m'aider ce serait gentil!!

    Nous admettons qu'il existe une fonction g, définie et dérivable sur R, vérifiant g(0) = 0 et, pour tout x ∈ R, g'(x) = 1/(1+x²).

    1.a) Montrer que la fonction h : x → g(x) + g(-x) est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
    ???

    dérivée: 1/(1+x²) + 1/(1+(-x)²) = 2/ (1+x²)

    b) Calculer h(0), en déduire que g est impaire.
    h(0) = 2 mais je ne vois pas en quoi cela montre que g est impaire...

    2.a) Montrer que la fonction i : x → g(x) + g (1/x) est dérivable sur R*+ et calculer sa dérivée.
    ???

    dérivée:
    1/(1+x²) + 1/(1+1/x²) =1/(x²+1) + 1/[(x²+1)/x²]
    = (1+x²)/(1+x²) =1

    b) En déduire qu'il existe une constance c ∈ R telle que, pour tout x ∈ R*+, g (x)= c - g(1/x).
    ???

    c) En déduire que lim g(x) = c.
    x → +∞
    ???

    3.a) Montrer que la fonction j : x → gof(x) - x est dérivable sur ] - pi/2 ; pi/2 [ et calculer sa dérivée.

    ???
    dérivée : -x = -1
    gof(x) = 1/ (1+tan²x) x (1+tan²x)
    donc j'(x) = 0

    b) Calculer j(0), en déduire que, pour tout x ∈ R, gof (x) = x.
    ???

    g est donc bien la fonction réciproque de tan sur ] -pi/2; pi /2 [ appelée fonction arctangente.

    c) Calculer les valeurs exactes de g(1), g (√3), g ( 1/√3 ) et la valeur de c.
    ???

    1. Etudier les variations de g sur R, puis, après avoir précisé ses asymptotes et sa tangente à l'origine représenter g sur le même graphique que f.

    Soit g la fonction définie par g : ] -3pi/2 ;3pi/2 [ \ { -pi/2 ; pi/2 } → R

    x → 4 x - tan² x

    1. Soit P le polynôme défini par P : R → R
      x → 2 ( 1- x) (x² + x + 2)

    Etudier le signe de P.

    dérivée = -6x² -2 comme P' n'a pas de racine, P est décroissante sur I

    1. a) Montrer que g' (x) = P (tan x) pour tout x ∈ ] -3pi/2 ;3pi/2[ \ { -pi/2 ; pi/2 }
      ???

    b) En déduire le signe de g' sur ] -3pi/2 ;3pi/2[ \ { -pi/2 ; pi/2 }, puis les variations de g sur ] -3pi/2 ;3pi/2 [ \ { -pi/2 ; pi/2 }
    ???

    1. Démontrer que l'équation g (x) = 1 a quatre solutions sur ] -3pi/2 ;3pi/2[ \
      { -pi/2 ; pi/2 }

    si vous avez une idée n'hésitez pas^^
    merci!



  • Je vais directe à la question B : 1.a)
    Montrer que la fonction est dérivable n'est pas très difficile et il n'y a de piège.
    x→-x est dérivable sur ℜ (comme monôme ou comme fonction opposée si tu veux faire du zèle) à valeurs dans ℜ et g est dérivable sur ℜ donc, par composition puis somme, h est dérivable sur ℜ.

    Ensuite tu t'es trompé dans ta dérivé.
    Si tu ne veux pas te faire charcuter par ton/ta prof de maths ne réécrit jamais que, si u est une fonction de x : [g(u(x))]' = g'(u(x))

    dans ton cas [g(-x)]' = -g'(-x)
    Donc pour tout x∈ℜ
    h'(x) = 1/(1+x²) - 1/(1+(-x)²)
    h'(x) = 0

    b) Par hypothèse g(0)=0. On ne trouve pas h(0) = 2 mais h(0)=0

    h est une fonction qui passe par 0 en 0 et dont la dérivée est nulle sur ℜ. Je te laisse conclure.

    Pour la question 2. ta dérivée est aussi fausse, et forcément tu ne peux pas conclure.
    [g(1/x)]' = (-1/x²)*g'(1/x)

    On obtiendra donc que pour tout x∈ℜ*+
    i'(x)=0
    donc que i est constante sur ℜ*+

    enfin comme g(x) = c - g(1/x)
    quand x tend vers +∞ g(1/x) tend vers g(0)=0 (car g est dérivable donc continue sur ℜ)
    donc g(x) tend vers c.

    Pour la culture c=π/2 et g est la fonction Arctangente.

    Je te laisse là en te conseillant tout de même de vérifier tes dérivées. Un correcteur qui vois -x = -1 il barre et il met 0 sans chercher à comprendre 😄 .



  • merci beaucoup pour les explications!!!

    mais je n'ai pas compris votre dérivée de [g(1/x)]'... je vois pas trop comment il faut faire...
    c'est béte je sais mais je ne vois vraiment pas :frowning2:
    (g[f(x)])' = f'(x) + g'[f(x)] = ?? comment vous trouvez que
    f'(x) = -1/x² et comment je peut savoir pour g'(x)? 😕



  • Mais c'est toujours pas la bonne formule pour la dérivée d'une composée :
    Si u et f sont des fonctions réelles alors pour tout x∈ℜ
    [f(u(x))]' = u'(x)*f'(u(x))

    J'ai tout de même beaucoup de mal à comprendre ce que tu dis.
    Pour dériver x→g(1/x) tu dois d'abord dériver la fonction x→1/x.
    (1/x)' = -1/x².

    Donc [g(1/x)]' = (1/x)' * g'(1/x)
    C'est à dire [g(1/x)]' = (-1/x²) * g'(1/x)

    Par définition de g tu as g'(x) = 1/(1+x²)
    donc g'(1/x) = 1/(1+(1/x²))

    en remplaçant tu obtiens donc [g(1/x)]' = 1x2×11+1x2-\frac{1}{x^2}\times{\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}}



  • oui excusez moi je me suis trompé de signe en recopiant ma dérivée... je voulais marquer :

    (g[f(x)])' = f'(x) x g'[f(x)]

    d'accord pour la dérivée (désolée mais les dérivées j'ai pas mal de difficultés :/)

    donc i'(x) = g'(x) +(g(1/x))'
    = 1/(x²+1) + [-1/(x²+1)] = 0
    merci beaucoup ^^ ça m'a bien aidé 😄

    le reste est sur le même principe alors je pense que ça va aller 🙂

    encore merci pour votre patience :razz:


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