exercice type probleme : étude d'une fraction rationnelle

[Teddy93]

Bonjour j'ai un autre exercice sur les dérivées ou la j'ai vraiment besoin d'aide car je n'arrive même pas faire le début qui dois paraitre simple pour chaque type exercice .

Voici l'énoncé

Soit f et g les fonctions définies sur R par

f(x) =
(x^5+x^4+x^3+2x-1
)/
(x^4+1
)

et g(x) =x+1

Le but de l'exercice est de comparer f(x) et g(x) suivant les valeurs de x.

On pose h(x)=f(x)-g(x)

1. Montrer que h(x)=
   (x^3+x-2
   )/
   (x^4+1
   )

2. Soit u la fonction définie sur R par u(x)=x^3+x-2
   a. Chercher une solution évidente de l'équation u(x)=0
   b. Étudier les variations de la fonction u
   c. L'équation u(x) =0 a t-elle d'autres racines que celle obtenue en a ? pourquoi ?
   d. En déduire , suivant les valeur du réel x, le signe de u(x) puis celui de h(x)
   e. Comparer alors f et g.

3. interpréter graphiquement le résultat précédent a l'aider des courbes F et G

voila l'énoncé

j'ai ma petite idée pour la question 1 c'est de mettre au même dénominateur f et g puis réduire mais je trouver plusieurs exposant de x puissance et je ne trouve pas h.

NdZ : corrections de détail.

[S321]

En effet, pour la question 1 tu dois mettre au même dénominateur :
g(x) = x+1
g(x) = $\frac{(x^4+1)(x+1)}{x^4+1}$
g(x) = $\frac{x^5+x^4+x+1}{x^4+1}$
h(x) = $\frac{(x^5+x^4+x^3+2x-1)-(x^5+x^4+x+1)}{x^4+1}$
Il n'y a plus qu'à écrire le résultat.

2.a) Quand on te demande une solution évidente en général c'est 0, 1 ou -1. S'ils sont vraiment vicieux c'est 2 mais ça va rarement plus loin. Dans ce cas là :
$1^3+1-2=0$
b) Pour étudier les variations de la fonction il faut que tu justifie sa dérivabilité (c'est un polynôme donc c'est dérivable) puis que tu la dérive :
$\frac{du(x)}{dx}=3x^2+1$
Ensuite tu montre que ce polynôme n'admet pas de racines donc qu'il est toujours strictement positif donc que u est strictement croissante sur ℜ.

c) Pour montrer que u(x)=0 n'admet pas d'autres racines tu peux utiliser le théorème de la bijection (si tu l'as vu). Qualitativement, ta fonction est strictement croissante, elle passe une fois par 0 pour passer une autre fois par 0 il faudrait qu'elle redescende.
Sinon tu peux factoriser ton polynôme u(x) par la racine que tu as.
$u(x)=(x-1)(a{x}^2+bx+c)$
puis tu développe et tu identifie les coefficients suivant les puissances de x. Sauf erreur tu as a=1, b=1 et c=2 ce qui donnera :
$u(x)=(x-1)(x^2+x+2)$
Et là tu peux montrer que le polynôme du second degré obtenu ne s'annule jamais.

d) u est strictement croissante et s'annule en 1 donc elle est négative avant 1 et positive après.
Pour le signe de h il ne reste plus qu'à étudier le signe du polynôme au dénominateur ce qui n'est pas très dur. En effet :
$x^4+1=(x^2{)}^2+1$
Un carré est positif, donc le carré d'un carré est positif et y rajouter 1 le rend strictement positif.

e) Comme h = f-g si h(x)>0 alors f(x)>g(x) et inversement.

3. Je te laisse faire l'interprétation graphique.

[Teddy93]

merci infiniment pour ton aide s321