méthode d'euler (pour l'ED f'(x)=f(x) et f(0) =1)



  • Exercice1:

    On considère le problème suivant: quelles sont les fonctions f dérivable sur R telles que f'(x)=f(x) pour tout réel x et telles que f(o) =1?
    On va supposer qu'une telle fonction existe et on va chercher a en construire une courbe représentative approchée en utilisant la méthode d'Euler et en déterminer quelques propriétés.

    PARTIE A:

    On va construire des courbes approchées d'une telle fonction f. Pour cela on va utiliser la methode d'euler, qui consiste à utiliser l'approximation suivante:
    f(x)a peu pres= f(a) + f '(a)(x-a)

    On découpe l'intervalle [0;1] en n intervalles de meme longueur 1/n (n étant un entier naturel non nul).
    On note to=0; t1=1/n ,..., tk = k/n, tn=1 les bornes des différents intervalles obtenus classées par ordre croissant. On note yo;y1;...;yn les valeur approchées de f(to), f(t1)...,f(tn) obtenues à l'aide de la methode d'euler.

    1. Comme f(0)=1, on pose yo = 1
      Montrer que f(t1) a peu pres = 1+ 1/n. On prend donc y1 = 1+ 1/n.

    2. On considére que f(t1)= 1+ 1/n ( on utilise l'approximation de la fonction f), montrer que
      y2 = (1+ 1/n)²

    3. Montrer par récurrence que pour tout entier k compris entre 0 et n:
      yk= (1+ 1/n)^k

    4. Dans un repere orthonormée d'unité 10cm. Construire les courbes approchants f sur [0,1] pour n=5, n=10 et n=20

    PARTIE 2:

    Soit f une fonction vérifiant les conditions énoncées au début du probléme. On va montrer quelques propriétés de cette fonction.

    1. On définit la fonction g sur R par: g(x)= f(x)f ' (-x)
      a) Montrer que g est dérivable sur R et calculer sa dérivée
      b) Que peut -on en déduire? Calculer g(0) et en déduire l'expressionde g(x) en fonction de x.
      c)Montrer que f ne s'annule pas sur R.

    2. Soit a un réel. On définit à présent la fonction h sur R par:

    h(x)= ( f(a+x) ) / f(x)
    a) Montrer que h est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
    b) Calculer h(o) et en déduire l'expression de h.
    c) Montrer alors que pour tous réels a et x, on a :
    f(a+x)=f(a)f(x)
    Quel objet mathématique posséede la meme propriété?

    Alors Voici mes reponces à vérifier

    PARTIE 1

    1. f(t1)= f(0+t1) a peu pres = f(0)+ f '(0) * t1 a peu pres = f(0)+ f '(0) * (1/n)

    or on suppose que f '(x) = f(x) donc f ' (0)= f(0)=1

    donc f(t1) a peu pres = 1+1 * (1/n) a peu pres = 1+ 1/n

    donc on prendra y1 = 1+ 1/n

    1. f(t2)=f(t1 + (1/n)) a peu pres = f(t1) + f '(t1)* (1/n) a peu pres = 1 + 1/n + (1+ 1/n)*(1/n)
      a peu pres = 1 + 1/n + 1/n + 1/n² a peu pres = 1 + 2/n + 1/n² a peu pres = ( 1+ 1/n)²
      donc y2 = ( 1+ 1/n)²

    2. Montrons par récurrence que pour tout entier k compris entre 0 et n yk= (1+ 1/n)^k

    Montrons que Po est vraie:
    y0= 1 et (1+ 1/n)^0 =1
    donc Po est vraie

    Montrons que (Pn) est vraie, soit m un entier k compris entre 0 et n, et supposons Pm vraie c'est à dire ym= (1+ 1/n)^m. Montrons que P (m+1) est vraie c'est à dire y(m+1)= (1+ 1/n)^(m+1)

    la je suis bloquer

    1. sa je c pas comment faire

    PARTIE 2

    Alors la je sais pas du tout comment démarrer merci d'avance de m'aider



  • en faite j'ai tout trouver ds la partie 1 Par contre pouvez vous m'aidez pour la partie 2??
    svp



  • aidez moi svp pour la partie 2



  • ouu vraiment personne peut m'aider pour la partie 2?



  • qques minutes svp...



  • j'ai pas l'esprit assez clair ce soir..je me replongerais là dessus demain



  • c bon j'ai tout trouver merci kan mm



  • j'ai le même problème mais je ne vois pas comment :

    • Dans la partie A
    1. Montrer par récurrence que pour tout entier k compris entre 0 et n:
      yk= (1+ 1/n)^k
      mon problème est pour monter l'hérédité de la propriété Pk : yk=(1+1/n)^k
    • Dans la partie B :
      calculer la dérivé de
      h(x)= ( f(a+x) ) / f(x) je sais qu'il faut trouvé h'(x) = h(x)= f(a+x)/f(x) mais j'arrive à 0 !

    Aidez moi s'il vous plait !
    merci d'avance ...



  • s'il vous plait j'ai besoin d'aide



  • j'ai besoin d'aide rapidement s'il vous plait ...



  • j'ai repris ce topic car ça évite de surchargé le forum mais aidez mi s'il vous plait



  • di tu es en quelle classe et quelle region? departement? sa ce trouve on ce connait repond moi sinon tora pa la suite

    Pour la partie 1 tu utilise la formule de l'ennoncé

    calculer la dérivé de
    h(x)= ( f(a+x) ) / f(x) je sais qu'il faut trouvé h'(x) = h(x)= f(a+x)/f(x) mais j'arrive à 0 !

    c'est normal si t'arrive a 0 c'est ce qui faut trouver a toi de savoir ce que signifie si h'(x)=0 alors h(x) est ...



  • c'est bon pour la partie B

    tu peux m'aider pour la récurrence ?



  • je suis en terminal s à nancy (54) p-e que les prof on le mm livre de sujet ou jc pa en tt cas si tu es de nancy on est les meilleur



  • Ah et bien je suis étonné je ne pensais pas qu'il pouvait y avoir une telle coïncidence, je ne suis pas de Nancy ! mais du 89 😆


 

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