Dual d'un espace vectoriel

[lumiere]

Bonjour,

Si on prend la base canonique de $R^3$, comment puis je calculer sa base dual ?
merci d'avance!

[kanial]

Attention le dual est l'ensemble des formes linéaires, c'est-à-dire des applications linéaires de E, ton espace, dans K, le corps de référence (R ou C en général).

Pour avoir une base du dual, il suffit d'avoir une base de l'espace initial $b=(e_1$, ..., $e_n$), alors l'ensemble $b\ast =(e_1$, ..., $e_n$) où $e_k$* est l'application "k-ième coordonnée du vecteur dans la base b", c'est-à-dire que pour un vecteur x s'écrivant ∑ (λ$$_j$e_j$),onaura$e_k$\ast (x)=\lambda$_k$, cet ensemble donc est une base de l'espace dual (c'est la base duale canoniquement associée à la base b).

Tout ce que j'ai dit là concerne le cas d'un espace de dimension finie, je sais que cela reste un peu vague mais s'il te faut plus de précisions, essaie de cibler exactement ce qui te gène...

[lumiere]

Bonjour, un ami m'a dit que pour calculer la base dual d'un R-espace vectoriel, qu'il faut une matrice dont les vecteurs colonnes sont $e_1$...$e_n$. Ensuite qu'il faut calculer l'inverse de cette matrice et prendre les vecteurs lignes. Ces derniers sont les vecteurs de la base duale. Pourquoi est-ce le cas, alors que l'inverse d'une matrice identité est encore une matrice identité?

Merci