Etude d'équation



  • Je me présente je m'appelles Jonathan et j'ai un DM à faire pour ds moins d'une semaine mais je suis absolument bloqué dès la question 2,toute la question 2.Je solisite donc vôtre pour parvenir à m'expliquer clairement la solution du prolème.Merci d'avance.

    11)Soit f(x)=x^3-3x-1,étude de variation,montrer qu'elle possède 3 solutions sur [-2,2]...je c'est comment faire pour tous cela mais après cela se gate...

    2)On veut montrer que ces trois solutions peuvent s'exprimer sous la forme 2cos téta.
    a)Montrer que cos3(téta)=4cos^3(téta)-3cos(téta)(avec cos3(téta)=cos(téta+2téta) puis développer par formule d'addition)
    b)Résoudre dansR l'équation cos3téta=1/2
    c)En posant x=2cos(téta),déterminer 3 réels téta1,téta2 et téta3 tels que alpha(i)=2cos(téta) (1< ou égal i < ou égal 3) soient les solutions de l'équation(E).Vérifier la concordance des résultats avec ceux obtenus en 1.

    Merci beaucoup pour tous car je ne comprends strictement rien.



  • Bonjour,
    petit rappel de cours:
    cos(a+b)= cosa.cosb-sina.sinb
    donc pour a= 2t et b=t
    (Je note t à la place téta pour alléger)
    cos(3t)=cos(2t).cost-sin(2t).sint

    On réutilise l'astuce,
    cos(2t)=cos(t+t)=....formule
    mais on a aussi besoin de sin(2t)=sin(t+t)=....

    petit rappel
    sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb

    Avec toutes ces infos, il ne te reste plus qu'à développer et simplifier pour trouver cos(3t) en fonction de cost et sint.

    autre petit rappel cos^2 t+sin^2 t=1
    donc sin^2 t=....
    tu peux alors conclure.

    Quel angle a pour cosinus 1/2?
    hum, hum, ... pi/3 et -pi/3
    Faire un cercle trigo pour le retrouver.
    donc cos 3t= 1/2 ssi 3t=pi/3 ou -pi/3 modulo 2pi
    ssi 3t=pi/3 +2kpi ou -pi/3 +2kpi avec k dans R...
    Conclure

    Je note a pour alpha
    Soit a=2cost cad cost=a/2
    alors
    l'expression du a) donne cos(3t)=4x(a/2)^3-3x(a/2)
    cad cos(3t)=(a^3 )/2-(3a)/2
    cad 2cos(3t) =a^3 -3a

    Cherchons un a solution (si il existe )de f alors a^3 -3a-1=0
    d'où 2cos(3t)=1
    chercher a revient à chercher t tel que cos(3t)=1/2 déjà résolu
    conclure


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